Ensino Médio ⇒ Porcentagem (Misturas)

[FRANCISCO749]

Se você adiciona 1 litro de água em uma solução de ácido e água, a nova concentração de ácido será de 20%.Se você adiciona 1 litro de ácido a nova solução a concentração será de 33% de ácido.Qual era a concentração de ácido na solução primitiva.

Resposta

---

Resp: 25%

[petras]

Solução original: W = volume de água ---> A = volume de ácido

Concentração de ácido: [tex3]x = \frac{A}{(W + A)} \implies (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{A}{(W + A)} \implies (I)[/tex3]

Adicionando + 1 L de água teremos A de ácido e W+1 de água:

Nova concentração de ácido = [tex3]\frac{A}{(A + W + 1) }= 0,2 \implies A = 0,2.A + 0,2.W + 0,2 \therefore
W = 4.A - 1( II)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{A}{(A + W + 1) }= 0,2 \implies A = 0,2.A + 0,2.W + 0,2 \therefore
W = 4.A - 1( II)
[/tex3]

Adicionando + 1 L de ácido teremos A+1 de ácido e W de água:

Nova concentração de ácido = [tex3] \mathsf{ \frac{(A + 1) } { (A + 1 + W)} = 0,33( III)\\

(II)em(III) \implies (A + 1)/(A + 1 + 4.A - 1) = 0,33 \implies \frac{(A + 1)}{5.A }= 0,33 \implies \\A + 1 = 1,65.A \implies 0,65.A = 1 \therefore A = \frac{1}{0,65} = \frac{100}{65}\\

De(II) : W = 4.A - 1 = 4.(1/0,65) - 1 \therefore W = \frac{3,35}{0,65} = \frac{335}{65}\\
De(I): x = \frac{A}{(W + A)}= \frac{100}{65}. \frac{1}{\frac{100}{65}+\frac{335}{65}} = \frac{100}{435} \approx \boxed{23\%}\\
(Solução:Elcioschin - adaptada)




}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \mathsf{ \frac{(A + 1) } { (A + 1 + W)} = 0,33( III)\\

(II)em(III) \implies (A + 1)/(A + 1 + 4.A - 1) = 0,33 \implies \frac{(A + 1)}{5.A }= 0,33 \implies \\A + 1 = 1,65.A \implies 0,65.A = 1 \therefore A = \frac{1}{0,65} = \frac{100}{65}\\

De(II) : W = 4.A - 1 = 4.(1/0,65) - 1 \therefore W = \frac{3,35}{0,65} = \frac{335}{65}\\
De(I): x = \frac{A}{(W + A)}= \frac{100}{65}. \frac{1}{\frac{100}{65}+\frac{335}{65}} = \frac{100}{435} \approx \boxed{23\%}\\
(Solução:Elcioschin - adaptada)




}[/tex3]

[petras]

FRANCISCO749,

Outra solução:
A porcentagem de ácido numa mistura, é a quantidade de litros de ácido, dividida pela quantidade de litros da mistura toda.

Digamos que haviam inicialmente “A” litros de ácido e “H” litros de água, num total de (A + H) litros da mistura.

Ao adicionarmos 1 litro de água, ficamos com A + H + 1 litros de mistura e o problema diz que temos 20% de ácido. Então a porcentagem de ácido na mistura, já que continuamos com A litros de ácido, será de:


A/(A + H + 1) = 20% --: A/(A + H + 1) = 1/5 (i)

Ao adicionarmos um litro de ácido, também ficamos com A + H + 1 litros de mistura, mas agora a porcentagem de ácido é de 33 e 1/3 %, ou 0,333.., ou ainda 1/3. Como ficamos agora com A + 1 litros de ácido, a porcentagem de ácido da mistura será:

(A + 1)/(A + H + 1) = 1/3 (ii)

Das equações (i) e (ii) podemos encontrar os valores de A e H. Isolando (A + H + 1) das duas equações:

A/(A + H + 1) = 1/5
5A = (A + H + 1) (i)
(A + 1)/(A + H + 1) = 1/3
3.(A + 1) = (A + H + 1) (ii)

E igualando o valor de A + H + 1 das duas:

5A = 3.(A + 1) --:A = 3/2

E colocando esse valor na equação 5A = (A + H + 1):

5A = (A + H + 1)
5.(3/2) = 3/2 + H + 1 --: H = 5

Agora para sabermos a porcentagem de ácido na mistura inicial, temos que dividir A por A + H, já que no início tínhamos A litros de ácido e um total de A + H litros de mistura:

= A / (A + H)
= (3/2) / (3/2 + 5) --: = 3/13 aproximadamente 23%

(Solução:cinoto)