logx2(x^2-5x+4)<1
gab: -1<x<4/5 ou x>4 e x[tex3]\neq [/tex3]
0
mudei para a base 10 mas no final achei x> 4/5
alguém pode detectar onde eu errei?
obg!
Ensino Médio ⇒ inequação logaritmica Tópico resolvido
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παθμ
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Mai 2024
03
09:15
Re: inequação logaritmica
Felipe22,
[tex3]\log_{x^2}\left(x^2-5x+4\right) < 1 \iff \frac{\log(x^2-5x+4)}{\log(x^2)} < 1.[/tex3]
Mas há 2 casos a serem analisados. Primeiro: se [tex3]\log(x^2)<0 \Longrightarrow x^2 < 1 \Longrightarrow -1 < x <1.[/tex3]
Daí ficamos com [tex3]\log(x^2-5x+4)>\log(x^2) \Longrightarrow x^2 -5x + 4> x^2 \Longrightarrow x < \frac{4}{5}.[/tex3]
Então pegando a interseção desse intervalo com [tex3](-1,1)[/tex3] ficamos com [tex3]\boxed{-1 < x < \frac{4}{5}}[/tex3]
O segundo caso é [tex3]\log(x^2)>0 \Longrightarrow x^2>1 \Longrightarrow x>1[/tex3] ou [tex3]x<-1.[/tex3]
[tex3]\log(x^2-5x+4)<\log(x^2) \Longrightarrow x^2-5x+4 < x^2 \Longrightarrow x > \frac{4}{5}.[/tex3]
Pegando a interseção, ficamos com [tex3]x>1.[/tex3]
Mas agora vem a condição de existência do logaritmo. A primeira é que [tex3]x^2>0[/tex3] e [tex3]x^2 \neq 1,[/tex3] o que está sendo desrespeitado no primeiro intervalo solução. Só precisamos adicionar a condição de que [tex3]x \neq 0[/tex3] no primeiro intervalo.
A segunda é que [tex3]x^2-5x+4>0 \Longrightarrow x>4 [/tex3] ou [tex3]x<1.[/tex3]
No nosso primeiro intervalo-solução, essa condição é respeitada. Já no segundo, há uma parte em que ela não é. Pegando a interseção, ficamos com [tex3]\boxed{x>4}[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}\left(x^2-5x+4\right) < 1 \iff \frac{\log(x^2-5x+4)}{\log(x^2)} < 1.[/tex3]
Mas há 2 casos a serem analisados. Primeiro: se [tex3]\log(x^2)<0 \Longrightarrow x^2 < 1 \Longrightarrow -1 < x <1.[/tex3]
Daí ficamos com [tex3]\log(x^2-5x+4)>\log(x^2) \Longrightarrow x^2 -5x + 4> x^2 \Longrightarrow x < \frac{4}{5}.[/tex3]
Então pegando a interseção desse intervalo com [tex3](-1,1)[/tex3] ficamos com [tex3]\boxed{-1 < x < \frac{4}{5}}[/tex3]
O segundo caso é [tex3]\log(x^2)>0 \Longrightarrow x^2>1 \Longrightarrow x>1[/tex3] ou [tex3]x<-1.[/tex3]
[tex3]\log(x^2-5x+4)<\log(x^2) \Longrightarrow x^2-5x+4 < x^2 \Longrightarrow x > \frac{4}{5}.[/tex3]
Pegando a interseção, ficamos com [tex3]x>1.[/tex3]
Mas agora vem a condição de existência do logaritmo. A primeira é que [tex3]x^2>0[/tex3] e [tex3]x^2 \neq 1,[/tex3] o que está sendo desrespeitado no primeiro intervalo solução. Só precisamos adicionar a condição de que [tex3]x \neq 0[/tex3] no primeiro intervalo.
A segunda é que [tex3]x^2-5x+4>0 \Longrightarrow x>4 [/tex3] ou [tex3]x<1.[/tex3]
No nosso primeiro intervalo-solução, essa condição é respeitada. Já no segundo, há uma parte em que ela não é. Pegando a interseção, ficamos com [tex3]\boxed{x>4}[/tex3]
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