Física II ⇒ (SOIF 2017) Radiação de corpo negro Tópico resolvido

[παθμ]

Um satélite esférico de raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

viaja ao redor do Sol de raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

em uma orbita circular a uma distância [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

do seu centro [tex3](r \ll D).[/tex3]

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[tex3](r \ll D).[/tex3]

Considerando que o Sol irradia como um corpo negro a uma temperatura [tex3]T_0=6000 \; \text{K},[/tex3]

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[tex3]T_0=6000 \; \text{K},[/tex3]

e que é coberto por um arco [tex3]2\theta = 32'[/tex3]

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[tex3]2\theta = 32'[/tex3]

visto pelo satélite, determine a temperatura [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

de equilíbrio do satélite.

[παθμ]

Solução:

A potência irradiada pelo Sol é dada pela lei de Stefan-Boltzmann, [tex3]P=4\pi R^2 \sigma T_0^4,[/tex3]

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[tex3]P=4\pi R^2 \sigma T_0^4,[/tex3]

e a intensidade que chega no satélite é [tex3]I=\frac{P_0}{4\pi D^2}=\frac{\sigma R^2 T_0^4}{D^2}.[/tex3]

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[tex3]I=\frac{P_0}{4\pi D^2}=\frac{\sigma R^2 T_0^4}{D^2}.[/tex3]

Usando a aproximação de [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

muito grande, podemos escrever [tex3]D \cdot 2 \theta = 2R \Longrightarrow \frac{R}{D}=\theta,[/tex3]

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[tex3]D \cdot 2 \theta = 2R \Longrightarrow \frac{R}{D}=\theta,[/tex3]

então [tex3]I=\sigma T_0^4 \theta^2.[/tex3]

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[tex3]I=\sigma T_0^4 \theta^2.[/tex3]

A potência absorvida pelo satélite é [tex3]P=I \pi r^2=\pi r^2 \sigma T_0^4 \theta^2.[/tex3]

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[tex3]P=I \pi r^2=\pi r^2 \sigma T_0^4 \theta^2.[/tex3]

No equilíbrio térmico, essa deve ser a mesma potência que ele irradia, dada também pela lei de steffan-boltzmann (no enunciado original, estava escrito que o satélite é pintado de preto, coisa que a SBF esqueceu de incluir).

[tex3]4\pi r^2 \sigma T^4= \pi r^2 \sigma T_0^4 \theta^2 \Longrightarrow T=\left(\frac{T_0^4 \theta^2}{4}\right)^{1/4}.[/tex3]

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[tex3]4\pi r^2 \sigma T^4= \pi r^2 \sigma T_0^4 \theta^2 \Longrightarrow T=\left(\frac{T_0^4 \theta^2}{4}\right)^{1/4}.[/tex3]

Plugando os valores numéricos, obtemos [tex3]\boxed{ T \approx 288 \; \text{K}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{ T \approx 288 \; \text{K}}[/tex3]

Obs: Esse problema foi extraído do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".