Pré-Vestibular ⇒ Unicentro- 2013- Matrizes Tópico resolvido

[dudaox]

Sejam A, B e C matrizes de ordem 3, sendo C invertível e tal que C⁻¹= A . B. Sabendo-se que B = 3A e det C = 1/3, o valor de (det A)⁴ é :


A)1.

B)3.

C)3⁻¹.

D)3⁻^3.

E)3⁻⁴.

Resposta

---

E

[LostWalker]

Teorema de Binet

---

Para essa questão, tomamos que, sendo [tex3]X[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]X[/tex3]

e [tex3]Y[/tex3]

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[tex3]Y[/tex3]

matrizes quadradas, então:

[tex3]\det(XY)=\det(X)\cdot\det(Y)[/tex3]

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[tex3]\det(XY)=\det(X)\cdot\det(Y)[/tex3]

Assim, pelas informações dadas, podemos dizer que:

[tex3]\det(C)=\frac13~~~\therefore~~~\det(C^{-1})=3[/tex3]

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[tex3]\det(C)=\frac13~~~\therefore~~~\det(C^{-1})=3[/tex3]

Vamos então começar com:

[tex3]\det(C^{-1})=\det(A\cdot B)[/tex3]

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[tex3]\det(C^{-1})=\det(A\cdot B)[/tex3]

[tex3]\det(C^{-1})=\det(A\cdot 3A)[/tex3]

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[tex3]\det(C^{-1})=\det(A\cdot 3A)[/tex3]

[tex3]\det(C^{-1})=\det(A)\cdot\det(3A)[/tex3]

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[tex3]\det(C^{-1})=\det(A)\cdot\det(3A)[/tex3]

nota: Nesse caso, o valor de 3 ele sai sendo elevado pela ordem da matriz, que nesse caso, é 3

[tex3]3=\det(A)\cdot\det(A)\cdot3^3[/tex3]

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[tex3]3=\det(A)\cdot\det(A)\cdot3^3[/tex3]

[tex3]3^{-2}=\[\det(A)\]^2[/tex3]

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[tex3]3^{-2}=\[\det(A)\]^2[/tex3]

Para tornar igual ao pedido, elevamos por 2, nesse caso:

[tex3]\(3^{-2}\)^2=\[\[\det(A)\]^2\]^2[/tex3]

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[tex3]\(3^{-2}\)^2=\[\[\det(A)\]^2\]^2[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\[\det(A)\]^4=3^{-4}}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\[\det(A)\]^4=3^{-4}}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]

*vou dar uma olhada depois para conferir se pulei alguma coisa

[petras]

LostWalker,
O gabarito oficial é letra E

[petras]

dudaox,
Tem varias questões suas resolvidas...Favor validar as mesmas ou questionar alguma dúvida

[dudaox]

Não consegui entender porque o três sai sendo elevado pela ordem da matriz. Isso é a prorpiedade de Binet ou somente a propriedade de uma multiplicação de uma matriz por número ?

[petras]

dudaox,

Adiantando a resposta do colega é uma propriedade do determinante

P5) Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k , então det (k M) = kⁿ detM

[dudaox]

Muito obrigada, Petras!!!