IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2023) Geometria Espacial Tópico resolvido

[gouy]

Seja o cubo [tex3]ABCDEFGH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABCDEFGH[/tex3]

de aresta [tex3]2\ cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\ cm[/tex3]

e [tex3]I[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I[/tex3]

, [tex3]J[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]J[/tex3]

e [tex3]K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K[/tex3]

pontos médios das arestas [tex3]EH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EH[/tex3]

, [tex3]DH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DH[/tex3]

e [tex3]AB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB[/tex3]

, respectivamente.

O volume da pirâmide [tex3]GIJK[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]GIJK[/tex3]

, em [tex3]cm^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cm^3[/tex3]

, é igual a:

cubo10.png (38.72 KiB) Exibido 1227 vezes

A) [tex3]7/6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7/6[/tex3]

B) [tex3]3/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3/2[/tex3]

C) [tex3]5/4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5/4[/tex3]

D) [tex3]11/8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11/8[/tex3]

E) [tex3]13/12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13/12[/tex3]

Resposta

---

A

Vi uma resolução dessa questão por R3, mas queria entender por geometria espacial também. Alguém ajuda? Por favor!

[petras]

gouy,

fig1.jpg (25.47 KiB) Exibido 1221 vezes

[tex3]\mathtt{
Base_p:\triangle GIJ\\
\triangle GHJ: GJ^2=1^2+2^2\implies GJ= \sqrt5\\
\triangle GIH: GI^2=1^2+2^2 \implies GI=\sqrt5\\
\triangle HIJ: IJ^2=1^2+1^2 \implies IJ = \sqrt2\\
h_{\triangle {GIJ}}: h^2= \sqrt5^2-(\frac{\sqrt2}{2})^2\implies h = \frac{3\sqrt2}{2} \\
\therefore S_{\triangle {GIJ}}=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt2}{2}.\sqrt2=\underline {\frac{3}{2}}\\
H_p=KM\\
\triangle AKD:KD = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt5 \\
\triangle KDJ: KJ=\sqrt{1^2+\sqrt5^2}=\sqrt6\\
\triangle KHD: KH^2= \sqrt{2^2+\sqrt5^2}=3\\
\triangle JMH: Sendo~MH=x\implies JM^2 = x^2-1^2\\
\triangle JKM: JM^2 = \sqrt6^2-(3-x)^2 \\
Igualando: x^2-1^2 = 6-9+6x-x^2 \implies x = \frac{2}{3}\\
\therefore KM = 3-\frac{2}{3} =\underline{ \frac{7}{3}}\\
\therefore V_p = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{7}{3}=\boxed{\frac{7}{6}}\color{green}\checkmark



}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{
Base_p:\triangle GIJ\\
\triangle GHJ: GJ^2=1^2+2^2\implies GJ= \sqrt5\\
\triangle GIH: GI^2=1^2+2^2 \implies GI=\sqrt5\\
\triangle HIJ: IJ^2=1^2+1^2 \implies IJ = \sqrt2\\
h_{\triangle {GIJ}}: h^2= \sqrt5^2-(\frac{\sqrt2}{2})^2\implies h = \frac{3\sqrt2}{2} \\
\therefore S_{\triangle {GIJ}}=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt2}{2}.\sqrt2=\underline {\frac{3}{2}}\\
H_p=KM\\
\triangle AKD:KD = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt5 \\
\triangle KDJ: KJ=\sqrt{1^2+\sqrt5^2}=\sqrt6\\
\triangle KHD: KH^2= \sqrt{2^2+\sqrt5^2}=3\\
\triangle JMH: Sendo~MH=x\implies JM^2 = x^2-1^2\\
\triangle JKM: JM^2 = \sqrt6^2-(3-x)^2 \\
Igualando: x^2-1^2 = 6-9+6x-x^2 \implies x = \frac{2}{3}\\
\therefore KM = 3-\frac{2}{3} =\underline{ \frac{7}{3}}\\
\therefore V_p = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{7}{3}=\boxed{\frac{7}{6}}\color{green}\checkmark



}[/tex3]

[gouy]

MUITO obrigada, ótima resolução!!