Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton Tópico resolvido

[Caduzin3445]

Calcule o valor de [tex3] \sum_{p=1}^{n} (-1)^{p-1} \frac{\binom{n}{p}}{p+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \sum_{p=1}^{n} (-1)^{p-1} \frac{\binom{n}{p}}{p+1}[/tex3]

Gab: n tenho

[FelipeMartin]

[tex3](x-1)^n = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p}x^{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)^n = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p}x^{p}[/tex3]

integre os dois lados com [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

indo de [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

a [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

:

[tex3]\int_0^1 (x-1)^n dx = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p} \int_0^1x^{p} dx [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^1 (x-1)^n dx = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p} \int_0^1x^{p} dx [/tex3]

o lado esquerdo: [tex3]\int_0^1 (x-1)^n dx = \int_{-1}^0u^n du = \frac{(-1)^n}{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_0^1 (x-1)^n dx = \int_{-1}^0u^n du = \frac{(-1)^n}{n+1}[/tex3]

lado direito: [tex3] \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p} \frac1{p+1} = (-1)^{n-1} \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{1-p} \frac1{p+1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{n-p} \frac1{p+1} = (-1)^{n-1} \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{1-p} \frac1{p+1} [/tex3]

a igualdade:

[tex3]\frac{-1}{n+1} = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{p-1} \frac1{p+1} = -\frac1{1} + S [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-1}{n+1} = \sum_{p=0}^n { n \choose p}(-1)^{p-1} \frac1{p+1} = -\frac1{1} + S [/tex3]

donde

[tex3]S = 1 - \frac1{n+1} = \frac n{n+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = 1 - \frac1{n+1} = \frac n{n+1}[/tex3]

é a resposta.