IME / ITA ⇒ Segmento de Reta Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Em uma linha reta marcam-se os pontos consecutivos A, B, C e D tal que [tex3]4(AB).(CD) = (BC).(AD) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(AB).(CD) = (BC).(AD) [/tex3]

e [tex3]\frac{1}{10} = \frac{4}{AD} + \frac{1}{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{10} = \frac{4}{AD} + \frac{1}{AB}[/tex3]

. Determine AC.

Resposta

---

AC = 50

[παθμ]

Jpgonçalves, sejam AB, BC e CD iguais a [tex3]x, \; y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x, \; y[/tex3]

e [tex3]z,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z,[/tex3]

respectivamente.

Primeira equação: [tex3]4xz=y(x+y+z) \Longrightarrow 4xz=xy+y^2+yz \Longrightarrow (4x-y)z=y(x+y) \Longrightarrow z=\frac{y(x+y)}{4x-y}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4xz=y(x+y+z) \Longrightarrow 4xz=xy+y^2+yz \Longrightarrow (4x-y)z=y(x+y) \Longrightarrow z=\frac{y(x+y)}{4x-y}.[/tex3]

Segunda equação: [tex3]\frac{1}{10}=\frac{4}{x+y+z}+\frac{1}{x}= \frac{5x+y+z}{x(x+y+z)} \Longrightarrow x^2+xy+xz=50x+10y+10z.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{10}=\frac{4}{x+y+z}+\frac{1}{x}= \frac{5x+y+z}{x(x+y+z)} \Longrightarrow x^2+xy+xz=50x+10y+10z.[/tex3]

Substituindo o valor de z:

[tex3]x^2+xy+\frac{xy(x+y)}{4x-y}=50x+10y+\frac{10y(x+y)}{4x-y}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+xy+\frac{xy(x+y)}{4x-y}=50x+10y+\frac{10y(x+y)}{4x-y}.[/tex3]

Multiplica os dois lados por 4x-y:

[tex3]4x^3-x^2y+4x^2y-xy^2+x^2y+xy^2=200x^2-50xy+40xy-10y^2+10xy+10y^2 \Longrightarrow 4x^3+4x^2y=200x^2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^3-x^2y+4x^2y-xy^2+x^2y+xy^2=200x^2-50xy+40xy-10y^2+10xy+10y^2 \Longrightarrow 4x^3+4x^2y=200x^2.[/tex3]

Divida os dois lados por [tex3]4x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^2[/tex3]

para obter [tex3]\boxed{x+y=50}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{x+y=50}[/tex3]

[Jpgonçalves]

Muito obrigado, @παθμ!