Física I ⇒ (SOIF 2017) Dinâmica dos fluidos Tópico resolvido

[παθμ]

Um hangar de avião com uma forma semicilíndrica de comprimento [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

e raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

é submetido a um vento perpendicular ao seu eixo, como mostrado na figura abaixo. Considerando que a velocidade do vento distante é [tex3]v_0[/tex3]

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[tex3]v_0[/tex3]

e laminar, determinar a força exercida neste hangar se a porta localizada na entrada, ponto A da figura, é completamente aberta.

Dados: Equação da superfície equipotencial de velocidade: [tex3]\phi=-v_0\left(r+\frac{R^2}{r}\right)\cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]\phi=-v_0\left(r+\frac{R^2}{r}\right)\cos(\theta)[/tex3]

[tex3]L=70 \; \text{m}, \; \; R=10 \; \text{m}, \; \; v_0=72 \; \text{km/h}, \; \; [/tex3]

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[tex3]L=70 \; \text{m}, \; \; R=10 \; \text{m}, \; \; v_0=72 \; \text{km/h}, \; \; [/tex3]

densidade do ar [tex3]\rho=1,2 \; \text{kg/m}^3.[/tex3]

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[tex3]\rho=1,2 \; \text{kg/m}^3.[/tex3]

a2faeb7c-846e-44ea-abbc-9ce08dc4ffc1.jpg (17.45 KiB) Exibido 92 vezes

[παθμ]

Solução:

A velocidade é dada em função do potencial escalar como [tex3]\vec{v}= - \nabla \phi =-\frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}.[/tex3]

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[tex3]\vec{v}= - \nabla \phi =-\frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}.[/tex3]

[tex3]\frac{\partial \phi}{\partial \theta}=v_0\left(r+\frac{R^2}{r}\right)\sin(\theta),[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial \phi}{\partial \theta}=v_0\left(r+\frac{R^2}{r}\right)\sin(\theta),[/tex3]

então o módulo da velocidade do ar na superfície externa do hangar é [tex3]v(\theta)=2v_0 \sin(\theta)[/tex3]

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[tex3]v(\theta)=2v_0 \sin(\theta)[/tex3]

(pois [tex3]v_r=0[/tex3]

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[tex3]v_r=0[/tex3]

).

Como a porta em A está aberta, o ar dentro do hangar está parado, e a velocidade do ar no ponto A é nula. Daí, considerando um fluxo laminar, podemos usar Bernoulli para achar a diferença de pressão [tex3]\Delta P(\theta)=P_0-P[/tex3]

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[tex3]\Delta P(\theta)=P_0-P[/tex3]

no hangar:

[tex3]P+\frac{\rho v^2}{2}=P_0 \Longrightarrow \Delta P=2 \rho v_0^2 \sin^2(\theta).[/tex3]

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[tex3]P+\frac{\rho v^2}{2}=P_0 \Longrightarrow \Delta P=2 \rho v_0^2 \sin^2(\theta).[/tex3]

O diferencial de área na superfície cilíndrica é [tex3]dA = LR \; d\theta,[/tex3]

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[tex3]dA = LR \; d\theta,[/tex3]

e o diferencial de força é [tex3]dF= P dA = PLR \; d\theta.[/tex3]

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[tex3]dF= P dA = PLR \; d\theta.[/tex3]

Como [tex3]\sin(\pi - \theta)=\sin(\theta),[/tex3]

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[tex3]\sin(\pi - \theta)=\sin(\theta),[/tex3]

[tex3]\Delta P(\theta)[/tex3]

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[tex3]\Delta P(\theta)[/tex3]

é simétrica com relação à reta vertical [tex3]\theta = \pi/2[/tex3]

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[tex3]\theta = \pi/2[/tex3]

e portanto não há força resultante no hangar na horizontal.

O diferencial de força vertical é [tex3]dF=PLR \; d\theta \; \sin(\theta)=2\rho v_0^2 LR \; \sin^3(\theta) \; d\theta.[/tex3]

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[tex3]dF=PLR \; d\theta \; \sin(\theta)=2\rho v_0^2 LR \; \sin^3(\theta) \; d\theta.[/tex3]

Então a força resultante que age no hangar, para cima, é: [tex3]F=2\rho v_0^2 LR \int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta) \; d\theta.[/tex3]

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[tex3]F=2\rho v_0^2 LR \int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta) \; d\theta.[/tex3]

[tex3]I=\int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta) \; d\theta=\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos^2(\theta)\right) \sin(\theta) d\theta.[/tex3]

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[tex3]I=\int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta) \; d\theta=\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos^2(\theta)\right) \sin(\theta) d\theta.[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]u=\cos(\theta) \Longrightarrow du=- \sin(\theta) d\theta:[/tex3]

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[tex3]u=\cos(\theta) \Longrightarrow du=- \sin(\theta) d\theta:[/tex3]

[tex3]I=\int_{1}^{-1}(1-u^2)(-du)=\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{3}.[/tex3]

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[tex3]I=\int_{1}^{-1}(1-u^2)(-du)=\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{3}.[/tex3]

Então [tex3]\boxed{F=\frac{8 \rho v_0^2 LR}{3}=896 \; \text{kN}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{F=\frac{8 \rho v_0^2 LR}{3}=896 \; \text{kN}}[/tex3]