Cap. 21 - Áreas de Regiones Poligonales ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
3 - A área de um triângulo ABC é 72m². Pelo baricentro G
se traçam paralelas a AB e BC, que interceptam a AC nos puntos E
e F respectivamente. Calcular a área da região triangular EGF.

Resposta

---

C) 8u²

[joaopcarv]

Dado que [tex3]\mathsf{\overline{BC} \ \parallel \ \overline{GF}, \ \overline{AB} \ \parallel \ \overline{EG}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{BC} \ \parallel \ \overline{GF}, \ \overline{AB} \ \parallel \ \overline{EG}}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\overline{EF} \ \in \ \overline{AC}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{EF} \ \in \ \overline{AC}}[/tex3]

, temos que [tex3]\mathsf{\triangle ABC \ \sim \ \triangle EFG.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle ABC \ \sim \ \triangle EFG.}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathsf{M}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{M}[/tex3]

o ponto médio de [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3]

, pela relação do baricentro, [tex3]\mathsf{\overline{BM} \ = \ 3 \cdot \overline{GM}.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{BM} \ = \ 3 \cdot \overline{GM}.}[/tex3]

A relação de semelhança entre [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\triangle EFG}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle EFG}[/tex3]

é, portanto, [tex3]\mathsf{3:1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{3:1}[/tex3]

(já que [tex3]\mathsf{\overline{GM} \ \in \ \overline{BM}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{GM} \ \in \ \overline{BM}}[/tex3]

), então a razão das áreas é [tex3]\mathsf{9:1.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{9:1.}[/tex3]

Logo, [tex3]\mathsf{S_{\triangle EFG} \ = \ \dfrac{72}{9}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{S_{\triangle EFG} \ = \ \dfrac{72}{9}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{= \ 8 \ u.a.}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{= \ 8 \ u.a.}}[/tex3]