Olá Caju, utilizando uma calculadora, percebi que seu resultado deu negativo. Posto então minha resolução.
Inicalmente considere
[tex3]\large C_1[/tex3]
o quarto de circunferência centrada em [tex3]\large C[/tex3]
e tendo raio medindo [tex3]\large a[/tex3]
.
[tex3]\large C_2[/tex3]
a semicircunferência de diâmetro [tex3]\large AB[/tex3]
, seu centro indicaremos por [tex3]\large M[/tex3]
o ponto de interseção de [tex3]\large C_1[/tex3]
e [tex3]\large C_2[/tex3]
será indicado por [tex3]\large P[/tex3]
, conforme figura abaixo.
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Perceba que o [tex3]\large \Delta AMC\,\equiv\,\Delta PMC[/tex3]
caso [tex3]\large LLL[/tex3]
, logo
[tex3]\large M\hat{P}C\,=\,M\hat{A}C\,=\,\Large \frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\large M\hat{C}P\,=\,M\hat{C}A\,=\,\gamma[/tex3]
[tex3]\large P\hat{M}C\,=\,A\hat{M}C\,=\,\beta[/tex3]
Visualize o setor circular [tex3]\large APC[/tex3]
, o segmento circular correspondente terá área indicada por [tex3]\large A_1[/tex3]
.
[tex3]\large A_1\,=\,A_{\textrm{set}\,APC}\,-\,A_{\Delta APC}[/tex3]
[tex3]\large A_1\,=\,\pi\,\cdot\,a^2\,\cdot\,\Large \frac{2\gamma}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,2\gamma[/tex3]
[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\gamma\,-\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma[/tex3]
[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,(\gamma\,-\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma)[/tex3]
(*)
Perceba agora que [tex3]\large \textrm{tg}\,\gamma\,=\,\Large \frac{1}{2}\large[/tex3]
. Utilizando essa informação e a relação fundamental da trigonometria, pode-se descobrir os valores de [tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma[/tex3]
e [tex3]\large \cos\,\gamma[/tex3]
.
Fazendo essas contas obtém-se [tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\Large \frac{\sqrt{5}}{5}\large[/tex3]
e [tex3]\large \cos\,\gamma\,=\,\Large \frac{2\sqrt{5}}{5}\large[/tex3]
Substituindo em (*) obteremos
[tex3]\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)[/tex3]
Visualize o setor circular [tex3]\large APM[/tex3]
, o segmento circular correspondente terá área indicada por [tex3]\large A_2[/tex3]
.
[tex3]\large A_2\,=\,A_{\textrm{set}\,APM}\,-\,A_{\Delta\, APM}[/tex3]
[tex3]\large A_2\,=\,\pi\,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\Large \frac{2\beta}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\textrm{sen}\,2\beta[/tex3]
[tex3]\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,(\beta\,-\,\textrm{sen}\,\beta\,\cdot\,\cos\,\beta)[/tex3]
(**)
Como [tex3]\large \gamma[/tex3]
e [tex3]\large \beta[/tex3]
são complementares temos
[tex3]\large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\cos\,\beta e \large \cos\,\gamma\,=\,\textrm{sen}\,\beta[/tex3]
Substituindo em (**) obteremos
[tex3]\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\left(\Large \frac{\pi}{2}\large \,-\,\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)[/tex3]
A área da região externa a [tex3]\large C_1[/tex3]
e [tex3]\large C_2[/tex3]
será indicada por [tex3]\large A_3[/tex3]
.
Para determinar [tex3]\large A_3[/tex3]
utilizaremos uma composição de áreas para obtermos a área do quadrado ([tex3]\large A_Q)[/tex3]
, como mostrado abaixo
[tex3]\large A_Q\,=\,A_{C_1}\,+\,A_{C_2}\,-\,(A_1\,+A_2)\,+\,A_3[/tex3]
[tex3]\large a^2\,=\,\Large \frac{\pi a^2}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi a^2}{8}\large \,-\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi}{8}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \right)\,+\,A_3[/tex3]
[tex3]\large A_3\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,-\,\Large \frac{\pi}{4}\large \,+\,\Large \frac{1}{2}\right)[/tex3]
A área hachurada é dada por [tex3]\large A_1\,+\,A_2\,+\,A_3[/tex3]
Agora basta somar, lembrando que [tex3]\large \gamma\,=\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)[/tex3]
[tex3]\large A_{\textrm{hachurada}}\,=\,a^2\,\cdot\,\left[\Large \frac{3}{2}\large \,\cdot\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)\,-\,\Large \frac{\pi}{8}\large \right][/tex3]
Deus escreve Matemática, mas poucos conseguem entender o mundo.