Ufa, acho que dessa vez saiu algo aqui. Mas ainda receio que esteja "mal formulado". Poderiam me ajudar nessa questão aqui? Eu sempre apanho dessas questões de demonstração. Tipo, eu sei que aquilo é verdade, mas provar... aí que morar o bicho. Eu testei alguns valores e vi que "k = 2.b" (b pertence aos inteiros), então sempre teríamos "k.π + α". Daí eu tirei que a primeira determinação positiva seria "α". Vi também que se tivermos "k = 2.j + 1" (j pertence aos inteiros) teríamos "k.π – α". Então a primeira determinação positiva seria "π – α". Bem, acho que isso não serve como uma PROVA, mas foi a única coisa que fui capaz de conceber.
Poliedro — Provar que os arcos da família (-1)^k.α + k.π; K ∈ ℤ e α ∈ 1º quadrante, são representados no ciclo trigonométrico por pontos simétricos em relação ao eixo y.
Sem gabarito.
Escrita alternativa: provar que os arcos da familia -1^ka + kpi k e z e alfa e 1º quadrante, sao representados no ciclo trigonometrico por pontos simetricos em relacao ao eixo y
Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos Tópico resolvido
- anastacialina
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Jul 2020
08
13:46
(Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
Trabalhar e estudar pro ITA não rola! Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!
- mcarvalho
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Jul 2020
08
16:20
Re: (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
Boa tarde.
Se k é par, temos: [tex3](-1)^k\cdot \alpha +k\cdot \pi=k\pi+\alpha[/tex3] e isso é equivalente a [tex3]\alpha[/tex3] . Se k é ímpar, temos: [tex3](-1)^k\cdot \alpha +k\cdot \pi=k\pi-\alpha[/tex3] e isso é equivalente a [tex3]\pi -\alpha[/tex3] .
Para provar que [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\pi-\alpha[/tex3] são simétricos entre si em relação ao eixo y, basta provar que [tex3]\sen(\alpha)=\sen(\pi-\alpha)[/tex3] [1] e [tex3]\cos(\alpha)=-\cos(\pi-\alpha)[/tex3] [2]. Isso porque se temos dois pontos, P e P', são simétricos em relação ao eixo y, é porque P e P' têm a mesma ordenada e abcissas de coordenadas de sinais opostos. Como estamos tratando de arcos determinados no ciclo trigonométrico, então o seno deve ser o mesmo e o cosseno deve ter sinal oposto. Observe a imagem:
[1] [tex3]\sen(\pi-\alpha)=\sen \pi\cdot \cos \alpha-\sen \alpha \cdot \cos \pi\\\sen(\pi-\alpha)=0\cdot \cos \alpha-\sen \alpha \cdot (-1)\\\boxed{\sen(\pi-\alpha)=\sen\alpha}[/tex3]
[2] Deixo essa demonstração como exercício.
Se k é par, temos: [tex3](-1)^k\cdot \alpha +k\cdot \pi=k\pi+\alpha[/tex3] e isso é equivalente a [tex3]\alpha[/tex3] . Se k é ímpar, temos: [tex3](-1)^k\cdot \alpha +k\cdot \pi=k\pi-\alpha[/tex3] e isso é equivalente a [tex3]\pi -\alpha[/tex3] .
Para provar que [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\pi-\alpha[/tex3] são simétricos entre si em relação ao eixo y, basta provar que [tex3]\sen(\alpha)=\sen(\pi-\alpha)[/tex3] [1] e [tex3]\cos(\alpha)=-\cos(\pi-\alpha)[/tex3] [2]. Isso porque se temos dois pontos, P e P', são simétricos em relação ao eixo y, é porque P e P' têm a mesma ordenada e abcissas de coordenadas de sinais opostos. Como estamos tratando de arcos determinados no ciclo trigonométrico, então o seno deve ser o mesmo e o cosseno deve ter sinal oposto. Observe a imagem:
[1] [tex3]\sen(\pi-\alpha)=\sen \pi\cdot \cos \alpha-\sen \alpha \cdot \cos \pi\\\sen(\pi-\alpha)=0\cdot \cos \alpha-\sen \alpha \cdot (-1)\\\boxed{\sen(\pi-\alpha)=\sen\alpha}[/tex3]
[2] Deixo essa demonstração como exercício.
Editado pela última vez por mcarvalho em 08 Jul 2020, 16:21, em um total de 1 vez.
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Jul 2020
09
09:01
Re: (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
mcarvalho, muito obrigado, mesmo! Que maldade do Poliedro! Eu nem estudei isso ainda: esse exercício era para ser a introdução a ângulos e arcos. O início a trigonometria estaria na frente. E eles já passaram isso? Shame on them! LOL
Eu tive que ir atrás da fórmula de somas de senos e cossesnos. Eu ainda nem sei de onde isso vem. Mas, por enquanto, só vou memorizá-la.
Exercício:
[tex3]\text{Hipótese:}\cos(\alpha)= - \cos(\pi - \alpha) \\
\cos(\pi - \alpha) = \cancelto{-1}{\cos(\pi)} \cdot \cos(\alpha) + \cancelto{0}{\sen(\pi)} \cdot \sen(\alpha) \\
\text{Hipótese confirmada:}\cos(\pi - \alpha) = - \cos(\alpha)[/tex3]
Acho que é isso! Mais uma vez, obrigado por me ajudar a ver o óbvio, mas que é só óbvio após a resposta. Que raiva que eu tenho disso!
Eu tive que ir atrás da fórmula de somas de senos e cossesnos. Eu ainda nem sei de onde isso vem. Mas, por enquanto, só vou memorizá-la.
Exercício:
[tex3]\text{Hipótese:}\cos(\alpha)= - \cos(\pi - \alpha) \\
\cos(\pi - \alpha) = \cancelto{-1}{\cos(\pi)} \cdot \cos(\alpha) + \cancelto{0}{\sen(\pi)} \cdot \sen(\alpha) \\
\text{Hipótese confirmada:}\cos(\pi - \alpha) = - \cos(\alpha)[/tex3]
Acho que é isso! Mais uma vez, obrigado por me ajudar a ver o óbvio, mas que é só óbvio após a resposta. Que raiva que eu tenho disso!
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Jul 2020
09
10:30
Re: (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
anastacialina, nesse caso, outra possibilidade é que o Poliedro tenha apenas pedido para você interpretar graficamente (como eu fiz no desenho) essa ideia de simetria, já que a parte de arcos não foi introduzida ainda.
Sobre essas fórmulas, inclusive, eu conheço duas demonstrações: uma é razoavelmente trabalhosa, mas acessível, você inclusive já tem o ferramental para conseguir fazê-la. Envolveria considerar dois triângulos retângulos que coincidem em um lado, montar relações entre eles e daí achar senos e cossenos da soma e da diferença. Outra demonstração, bem mais simples e elegante, tem a ver com aquela famosa identidade de Euler [tex3]e^{i\pi}+1=0[/tex3] (em sua forma genérica, que não é essa), que, contudo, só é estudada e demonstrada a nível de ensino superior, embora, eventualmente, você vai acabar se deparando com ela e se familiarizando com ela na sua trajetória de preparação para o ITA, se for o caso.
Sobre essas fórmulas, inclusive, eu conheço duas demonstrações: uma é razoavelmente trabalhosa, mas acessível, você inclusive já tem o ferramental para conseguir fazê-la. Envolveria considerar dois triângulos retângulos que coincidem em um lado, montar relações entre eles e daí achar senos e cossenos da soma e da diferença. Outra demonstração, bem mais simples e elegante, tem a ver com aquela famosa identidade de Euler [tex3]e^{i\pi}+1=0[/tex3] (em sua forma genérica, que não é essa), que, contudo, só é estudada e demonstrada a nível de ensino superior, embora, eventualmente, você vai acabar se deparando com ela e se familiarizando com ela na sua trajetória de preparação para o ITA, se for o caso.
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Jul 2020
09
11:10
Re: (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
Eu já vi essa equação em vários locais, mas não tenho a menor noção do que ela significa. LOL. Quando a demonstração da soma de seno e cossesnos, eu vi uma muito bonita. Vou até deixa-lá aqui para futuras pessoinhas que nos "visitar". Inclusive acho que seja algo próximo ao que você falou: Demonstração do seno e do cosseno da soma de dois arcos
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Jul 2020
09
11:34
Re: (Poliedro) Prove que tal família possui arcos simétricos
Sim, essa mesma. No fundo nem é tão trabalhosa assim quanto eu disse, e não deixa de ser elegante, também.anastacialina escreveu: ↑09 Jul 2020, 11:10 Quando a demonstração da soma de seno e cossesnos, eu vi uma muito bonita. Vou até deixa-lá aqui para futuras pessoinhas que nos "visitar". Inclusive acho que seja algo próximo ao que você falou: Demonstração do seno e do cosseno da soma de dois arcos
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