IME / ITA ⇒ (Simulado-CN) Relógio Tópico resolvido

[Kalashnikov]

Os três ponteiros de um relógio (hora, minuto e segundo) estão superpostos ao meio-dia. A que horas, logo após essa superposição dos três ponteiros, o ponteiro dos segundos estará na posição de bissetriz do menor ângulo formado pelos outros dois?

Resposta

---

12 h 1 min e 780/1427 seg.

[csmarcelo]

Em um segundo, o ponteiro dos segundos percorre [tex3]\frac{1}{60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{60}[/tex3]

da circunferência.
Após [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

segundos, o ponteiro dos segundos percorrerá [tex3]\frac{x}{60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{60}[/tex3]

da circunferência, ou seja, [tex3]\frac{2\pi x}{60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi x}{60}[/tex3]

graus.

Em um segundo, o ponteiro dos minutos percorre [tex3]\frac{1}{60\cdot60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{60\cdot60}[/tex3]

da circunferência.
Após [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

segundos, o ponteiro dos minutos percorrerá [tex3]\frac{x}{60\cdot60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{60\cdot60}[/tex3]

da circunferência, ou seja, [tex3]\frac{2\pi x}{60\cdot60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi x}{60\cdot60}[/tex3]

graus.

Em um segundo, o ponteiro das horas percorre [tex3]\frac{1}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

da circunferência.
Após [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

segundos, o ponteiro das horas percorrerá [tex3]\frac{x}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

da circunferência, ou seja, [tex3]\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}[/tex3]

graus.

Para que o exposto pelo enunciado ocorra, é necessário que o ponteiro dos segundos esteja entre o ponteiro dos minutos e o das horas e isso só acontecerá a partir de sua segunda volta.

No início da segunda volta, teremos as seguintes posições iniciais:

Ponteiro dos segundos: 0
Ponteiro dos minutos: [tex3]\frac{2\pi}{60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi}{60}[/tex3]

graus
Ponteiro das horas: [tex3]\frac{2\pi}{60\cdot12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi}{60\cdot12}[/tex3]

graus

Dessa forma, após mais [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

segundos, temos que:

[tex3]\underbrace{\(\frac{2\pi}{60}+\frac{2\pi x}{60\cdot60}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro dos minutos}}-\underbrace{\(\frac{2\pi}{60\cdot12}+\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro das horas}}=2\cdot\[\underbrace{\frac{2\pi x}{60}}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro dos segundos}}-\underbrace{\(\frac{2\pi}{60\cdot12}+\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro das horas}}\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\(\frac{2\pi}{60}+\frac{2\pi x}{60\cdot60}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro dos minutos}}-\underbrace{\(\frac{2\pi}{60\cdot12}+\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro das horas}}=2\cdot\[\underbrace{\frac{2\pi x}{60}}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro dos segundos}}-\underbrace{\(\frac{2\pi}{60\cdot12}+\frac{2\pi x}{60\cdot60\cdot12}\)}_{\text{distância percorrida pelo ponteiro das horas}}\][/tex3]