Bom dia,
lincoln1000.
Observe o anexo [tex3]\longrightarrow[/tex3]
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Observe, que, depois de cortarmos o setor circular, vamos juntar os dois raios [tex3]R[/tex3]
(do desenho à esquerda) e, com, formaremos justamente o cone assim, com a parte vermelha restante sendo o novo comprimento da base circular.
Veja como fica o novo cone montado (à direita). O vértice desse cone é justamente o centro da circunferência de papel.
Logo, a distância entre o vértice ao comprimento da circunferência (geratriz) é o próprio raio da circunferência de papel [tex3]R[/tex3]
.
Temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]C \ = \ \alpha \ \cdot \ \rho \ \longrightarrow[/tex3]
[tex3]C \ \rightarrow[/tex3]
Comprimento de um setor circular;
[tex3]\alpha \ \rightarrow[/tex3]
Ângulo central;
[tex3]\rho \ \rightarrow[/tex3]
Raio do setor circular.
Ou seja, veja que o comprimento da base [tex3]C_{(base)}[/tex3]
é o comprimento da circunferência de papel ([tex3]C_{(circ)}[/tex3]
) menos o comprimento do setor circular [tex3]C_{(setor)}[/tex3]
[tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(base)} \ = \ C_{(circ)} \ - \ C_{(setor)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\underbrace{2 \ \cdot \ \pi}_{ângulo \ central \ da \ base} \ \cdot \ \underbrace{r}_{raio \ da \ base} \ = \ \underbrace{2 \ \cdot \ \pi}_{ângulo \ central \ da \ circunferência} \ \cdot \ \underbrace{R}_{raio \ da \ circunferência} \ - \ \underbrace{\theta}_{ângulo \ central \ do \ setor} \ \cdot \ \underbrace{R}_{raio \ do \ setor} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ r \ = \ 2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ R \ - \ \theta \ \cdot \ R \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ r \ = \ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{r \ = \ \frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}}}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3]
Raio do cone!
Agora, temos o cone reto formado, onde a altura [tex3]H[/tex3]
, formando [tex3]90^\circ[/tex3]
com o plano da base, o raio [tex3]r[/tex3]
e a geratriz [tex3]R[/tex3]
(como visto, raio da circunferência, já que o vértice do cone é o centro da mesma) formam um [tex3]\triangle[/tex3]
retângulo.
[tex3]R^2 \ = \ H^2 \ + \ r^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]R^2 \ = \ H^2 \ + \ \Bigg(\frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}\Bigg)^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]R^2 \ = \ \ H^2 \ + \ \frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]R^2 \ - \ \frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \ = \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{4 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ R^2 \ - \ R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \
= \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{R^2 \ \cdot \ (\cancel{4 \ \cdot \ \pi^2} \ - \ \cancel{4 \ \cdot \ \pi^2} \ + \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2}
\ = \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ \sqrt{\frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}} \ \Rightarrow[/tex3]
Altura do cone!
O volume [tex3]V[/tex3]
é [tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]V \ = \ \frac{A_{b} \ \cdot \ H}{3} \ \rightarrow[/tex3]
Base circular :
[tex3]V \ = \ \frac{\pi \ \cdot \ r^2 \ \cdot \ H}{3} \ \rightarrow[/tex3]
Substituindo os valores :
[tex3]V \ = \ \frac{\pi \ \cdot \ \Big(\frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}\Big)^2 \ \cdot \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}{3} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]V \ = \ \frac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)^2 \cdot \ R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \pi^{\cancel{3}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{V \ = \ \frac{R^3 \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)^2 \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{24 \ \cdot \ \pi^2}}} \ \Rightarrow[/tex3]
Volume do cone!
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
