Pré-Vestibular ⇒ (UFTM) Grandezas Inversamente Proporcionais

[Yuri]

As máquinas P, Q e R, trabalhando juntas, fazem um serviço em x horas. Quando P, Q e R trabalham sozinhas levam-se, respectivamente, 6, 1 e x horas a mais para a realização do
serviço. Nas condições dadas, x é igual a:

a) 2/3
b)11/12
c)3/2
d)2
e)3


Resp: a

[fabit]

Juntas, por unidade de tempo, realizam [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x}[/tex3]

do serviço.

Separadas, realizam por unidade de tempo, [tex3]\frac{1}{x+6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x+6}[/tex3]

, [tex3]\frac{1}{x+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x+1}[/tex3]

e [tex3]\frac{1}{x+x}=\frac{1}{2x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x+x}=\frac{1}{2x}[/tex3]

.

Então [tex3]\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{2x(x+1)+2x(x+6)+(x+6)(x+1)}{2\cancel{x}(x+1)(x+6)}=\frac{1}{\cancel{x}}\Rightarrow2x^2+2x+2x^2+12x+x^2+7x+6=2(x^2+7x+6)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{2x(x+1)+2x(x+6)+(x+6)(x+1)}{2\cancel{x}(x+1)(x+6)}=\frac{1}{\cancel{x}}\Rightarrow2x^2+2x+2x^2+12x+x^2+7x+6=2(x^2+7x+6)[/tex3]

[tex3]5x^2+21x+6=2x^2+14x+12\Rightarrow3x^2+7x-6=0\Rightarrow(3x-2)(x+3)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x^2+21x+6=2x^2+14x+12\Rightarrow3x^2+7x-6=0\Rightarrow(3x-2)(x+3)=0[/tex3]

Como x não pode ser negativo, (x+3) não pode ser zero. Logo 3x-2=0 e aí x=2/3. Letra A.