Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1987) Geometria Plana: Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[bruninha]

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Na figura os ângulos assinalados são retos. Temos necessariamente:

a) [tex3]\frac{x}{y}\, =\,\frac{p}{m}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{y}\, =\,\frac{p}{m}[/tex3]

b) [tex3]\frac{x}{y}\, =\,\frac{m}{p}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{y}\, =\,\frac{m}{p}[/tex3]

c) [tex3]xy\,=\,pm[/tex3]

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[tex3]xy\,=\,pm[/tex3]

d) [tex3]x^2\,+\,y^2\,=\,p^2\,+\,m^2[/tex3]

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[tex3]x^2\,+\,y^2\,=\,p^2\,+\,m^2[/tex3]

e) [tex3]\frac{1}{x}\,+\,\frac{1}{y}\, =\,\frac{1}{m}\,+\,\frac{1}{p}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x}\,+\,\frac{1}{y}\, =\,\frac{1}{m}\,+\,\frac{1}{p}[/tex3]

[Thales Gheós]

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Veja que o ângulo [tex3]\phi=A+D[/tex3]

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[tex3]\phi=A+D[/tex3]

e como [tex3]C=A \Rightarrow \beta=D[/tex3]

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[tex3]C=A \Rightarrow \beta=D[/tex3]

e assim [tex3]\alpha=E[/tex3]

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[tex3]\alpha=E[/tex3]

Os triângulos são semelhantes e [tex3]\frac{m}{x}=\frac{p}{y}\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{m}{p}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{x}=\frac{p}{y}\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{m}{p}[/tex3]

[bruninha]

Eu ainda não conseguir entender essa questão.

[Thales Gheós]

Ok bruninha,

Vamos esquecer o ângulo [tex3]\phi.[/tex3]

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[tex3]\phi.[/tex3]

• 

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Veja que [tex3]\alpha=90+\beta[/tex3]

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[tex3]\alpha=90+\beta[/tex3]

[tex3]\alpha ,[/tex3]

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[tex3]\alpha ,[/tex3]

[tex3]\alpha=90+D[/tex3]

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[tex3]\alpha=90+D[/tex3]

de onde se conclui que [tex3]D=\beta[/tex3]

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[tex3]D=\beta[/tex3]

portanto [tex3]\alpha=E[/tex3]

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[tex3]\alpha=E[/tex3]

e os triângulos são semelhantes. Daí vale a relação:

• [tex3]\frac{m}{x}=\frac{p}{y} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{m}{p}[/tex3]

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  [tex3]\frac{m}{x}=\frac{p}{y} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{m}{p}[/tex3]

[nil99]

Se quiser pode usar o teorema que diz que a soma das bissetrizes de dois ângulos suplementares é sempre [tex3]90^\circ[/tex3]

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[tex3]90^\circ[/tex3]

imagine o ângulo [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

como sendo essa soma dai você poderá tirar sua própias conclusões.

[eiji]

Estou com uma dúvida também.
Se pode fazer desse jeito, eu pego o ângulo [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

e pego o ângulo externo dele que seria [tex3]\varphi[/tex3]

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[tex3]\varphi[/tex3]

, e como o ângulo externo é a soma dos outros dois ângulo internos que é A e D; dessa forma podemos afirmar mais facilmente que o ângulo [tex3]\varphi[/tex3]

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[tex3]\varphi[/tex3]

é igual A + D, por ser 90º já estar mostrando. Posso ou não posso afirmar dessa forma (pelo ângulo externo) ou está errado ???

[jacobi]

Olá, como a soma dos dois ângulos agudos de um triângulo é 90 graus e como os 3 ângulos, no meio dos triângulos, somam 180 graus, então, o terceiro ângulo é o ângulo verde.
Daí, os triãngulos são semelhantes.