Eu quero uma primitiva da expressão:
[tex3]\frac{t^{s-1}}{e^t}[/tex3]
Preciso dela pra resolver essa integral:
[tex3]\int\frac{t^{s-1}}{e^t - 1} dt[/tex3]
Pois:
[tex3]\frac{1}{e^t-1}=\frac{1}{e^t}+\frac{1}{e^{2t}}+\frac{1}{e^{3t}}+\frac{1}{e^{4t}}+...[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Primitiva Tópico resolvido
- Toplel94
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Dez 2015
03
11:29
Re: Primitiva
[tex3]\int (t^{s-1})e^{-t} dt[/tex3]
s=2,
[tex3]\int t e^{-t}dt=-te^{-t}+\int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}=-e^{-t}(t+1)[/tex3]
s=3,
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}+2\int t e^{-t}dt[/tex3] . Repare que já temos resultado dessa última primitiva:
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}-2[e^{-t}(t+1)][/tex3] .
Repare que você vai já utilizando uma primitiva anterior para resolver a posterior (no qual facilita o cálculo
[tex3]\int t^{s-1}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)\int t^{s-2}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)[-t^{s-2}e^{-t}+(s-2)\int t^{s-3}e^{-t}dt][/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)\int t^{s-3} e^{-t}dt[/tex3] , logo:
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)[-t^{s-3}e^{-t}+(s-3) \int t^{s-4} e^{-t} dt][/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}+(s-1)(s-2)(s-3)\int t^{s-4} e^{-t}dx[/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}-(s-1)(s-2)(s-3)t^{s-4}e^{-t}- \ldots -\ldots-(s-1)!e^{-t}[/tex3]
.s=2,
[tex3]\int t e^{-t}dt=-te^{-t}+\int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}=-e^{-t}(t+1)[/tex3]
s=3,
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}+2\int t e^{-t}dt[/tex3] . Repare que já temos resultado dessa última primitiva:
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}-2[e^{-t}(t+1)][/tex3] .
Repare que você vai já utilizando uma primitiva anterior para resolver a posterior (no qual facilita o cálculo
[tex3]\int t^{s-1}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)\int t^{s-2}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)[-t^{s-2}e^{-t}+(s-2)\int t^{s-3}e^{-t}dt][/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)\int t^{s-3} e^{-t}dt[/tex3] , logo:
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)[-t^{s-3}e^{-t}+(s-3) \int t^{s-4} e^{-t} dt][/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}+(s-1)(s-2)(s-3)\int t^{s-4} e^{-t}dx[/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}-(s-1)(s-2)(s-3)t^{s-4}e^{-t}- \ldots -\ldots-(s-1)!e^{-t}[/tex3]
Editado pela última vez por Toplel94 em 03 Dez 2015, 11:29, em um total de 1 vez.
- minkowski
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Dez 2015
03
15:06
Re: Primitiva
Como ficaria pra [tex3]\frac{t^{s-1}}{e^{nt}}[/tex3]
? Poderia expressar os fatoriais em função de [tex3]\Gamma(s)[/tex3]
?
Editado pela última vez por minkowski em 03 Dez 2015, 15:06, em um total de 1 vez.
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