Uma folha de papel de dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente
opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).
Pessoal não estou conseguindo visualizar essa imagem dessa folha sendo dobrada. So enxergo essa dobra como sendo a diagonal do tring. 8 x 6.
Será que algue conseguiria uma imagem representando essa dobra? Ou se não, explicar detalhadamente o que está acontecendo ai?
Obrigado.
Ensino Médio ⇒ (FUVEST - 1987) Geometria Tópico resolvido
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Lucasmenezes
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Jun 2014
12
22:43
(FUVEST - 1987) Geometria
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PedroCunha
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Jun 2014
12
23:23
Re: (Fuvest/87) Relações metr. em triang. retang.
Olá.
É melhor para você entender que você mesmo dobre uma folha na sua casa e veja o que acontece.
O desenho da folha após a dobra é:
[tex3]x[/tex3]
é a medida da dobra; [tex3]d[/tex3]
é a medida da diagonal do retângulo.
Vamos encontrar esta primeiro:
[tex3]d^2 = 6^2 + 8^2 \rightarrow d = 10[/tex3]
No triângulo retângulo [tex3]EFG[/tex3] :
[tex3]x^2 = 6^2 + (8-2y)^2 \therefore x^2 - 36 = 64 - 32y + 4y^2 \therefore x^2 = 4y^2 - 32y + 100[/tex3]
No triângulo retângulo [tex3]BIG[/tex3] :
[tex3](8-2y+y)^2 = 5^2 + \left( \frac{x}{2} \right)^2 \therefore (8-y)^2 = 25 + \frac{x^2}{4} \therefore \\\\ 64 - 16y +y^2 = 25 + y^2 - 8y + 25 \therefore 14 = 8y \rightarrow y = \frac{7}{4}[/tex3]
Lembrando que [tex3]x > 0[/tex3] , temos:
[tex3]x^2 = 4 \cdot \left( \frac{7}{4} \right)^2 - 32 \cdot \frac{7}{4} + 100 \therefore x^2 = \frac{49}{4} - 56 + 100 \therefore x^2 = \frac{225}{4} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = \frac{15}{2}}}[/tex3]
É isso.
Lembre-se de dobrar a folha na sua casa e ver o que acontece com a dobradura.
Att.,
Pedro
É melhor para você entender que você mesmo dobre uma folha na sua casa e veja o que acontece.
O desenho da folha após a dobra é:
- dobra.png (11.94 KiB) Exibido 3016 vezes
Vamos encontrar esta primeiro:
[tex3]d^2 = 6^2 + 8^2 \rightarrow d = 10[/tex3]
No triângulo retângulo [tex3]EFG[/tex3] :
[tex3]x^2 = 6^2 + (8-2y)^2 \therefore x^2 - 36 = 64 - 32y + 4y^2 \therefore x^2 = 4y^2 - 32y + 100[/tex3]
No triângulo retângulo [tex3]BIG[/tex3] :
[tex3](8-2y+y)^2 = 5^2 + \left( \frac{x}{2} \right)^2 \therefore (8-y)^2 = 25 + \frac{x^2}{4} \therefore \\\\ 64 - 16y +y^2 = 25 + y^2 - 8y + 25 \therefore 14 = 8y \rightarrow y = \frac{7}{4}[/tex3]
Lembrando que [tex3]x > 0[/tex3] , temos:
[tex3]x^2 = 4 \cdot \left( \frac{7}{4} \right)^2 - 32 \cdot \frac{7}{4} + 100 \therefore x^2 = \frac{49}{4} - 56 + 100 \therefore x^2 = \frac{225}{4} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = \frac{15}{2}}}[/tex3]
É isso.
Lembre-se de dobrar a folha na sua casa e ver o que acontece com a dobradura.
Att.,
Pedro
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Razão: tex --> tex3
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"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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csmarcelo
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Jun 2014
13
00:14
Re: (FUVEST - 1987) Geometria
Uma outra forma de se resolver:
Por Pitágoras,
[tex3]AC^2=8^2+6^2\rightarrow AC=10[/tex3]
Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]AC[/tex3] , ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3] . Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3] , e, portanto, [tex3]AM=\frac{AC}{2}=5[/tex3] .
Agora, repare que [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]AEM[/tex3] são semelhantes por AA e, portanto:
[tex3]\frac{AE}{AM}=\frac{AC}{AB}\rightarrow AE=\frac{25}{4}[/tex3]
E, prosseguindo,
[tex3]\frac{EM}{BC}=\frac{AE}{AC}\rightarrow EM=\frac{15}{4}[/tex3]
Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]EF[/tex3] , ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3] . Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]EF[/tex3] , e, portanto, [tex3]EF=2\cdot EM=\frac{15}{2}[/tex3] .
- Untitled.png (6.98 KiB) Exibido 3011 vezes
[tex3]AC^2=8^2+6^2\rightarrow AC=10[/tex3]
Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]AC[/tex3] , ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3] . Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3] , e, portanto, [tex3]AM=\frac{AC}{2}=5[/tex3] .
Agora, repare que [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]AEM[/tex3] são semelhantes por AA e, portanto:
[tex3]\frac{AE}{AM}=\frac{AC}{AB}\rightarrow AE=\frac{25}{4}[/tex3]
E, prosseguindo,
[tex3]\frac{EM}{BC}=\frac{AE}{AC}\rightarrow EM=\frac{15}{4}[/tex3]
Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]EF[/tex3] , ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3] . Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]EF[/tex3] , e, portanto, [tex3]EF=2\cdot EM=\frac{15}{2}[/tex3] .
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