Física I ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica da rotação (3D) Tópico resolvido
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παθμ
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Fev 2024
23
22:48
(SOIF 2016) Dinâmica da rotação (3D)
Um girocompasso ou bússola giroscópica simples consiste em um giroscópio girando sobre seu eixo com velocidade angular [tex3]\omega.[/tex3]
O momento de inércia sobre este eixo é [tex3]C,[/tex3]
e sobre o eixo transversal é [tex3]A.[/tex3]
A suspenção do giroscópio está imerso em uma piscina de mercúrio de modo que o único torque atuando no giroscópio é restrito ao seu eixo para permanecer em um plano horizontal. Se o girocompasso está colocado no equador da Terra, sendo [tex3]\Omega[/tex3]
a velocidade angular da Terra, mostre que o eixo do girocompasso irá oscilar na direção Norte-Sul, e para pequenas amplitudes de oscilação determine este período, assumindo que [tex3]\omega \gg \Omega.[/tex3]
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παθμ
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Fev 2024
23
22:59
Re: (SOIF 2016) Dinâmica da rotação (3D)
Solução:
Um simples esboço da situação, mostrando o ângulo [tex3]\theta[/tex3] entre o eixo do giroscópio e a direção norte-sul local:
Considerando o referencial que vê a terra rotacionar com velocidade angular [tex3]\Omega[/tex3]
como aproximadamente inercial, podemos entender isso como a mesma situação de um pião precessionando (vide figura abaixo), onde [tex3]\dot{\phi}[/tex3]
(usando a notação usual dos ângulos de Euler) é vinculado a ser constante e igual a [tex3]\Omega:[/tex3]
Usando a imagem acima, por exemplo, temos [tex3]I_3=C, \; [/tex3]
[tex3]I_1=I_2=A, \; [/tex3]
[tex3]\dot{\phi}= \Omega, \; \; \dot{\psi}= \omega. [/tex3]
Notando que não há energia potencial envolvida no problema, a Lagrangiana do giroscópio é simplesmente sua energia cinética, ficando (basta decompor as velocidades angulares nos eixos principais):
[tex3]\mathcal{L}=\frac{A}{2}\left(\dot{\theta}^2+\Omega^2 \sin^2(\theta)\right)+\frac{C}{2}\left(\omega + \Omega \cos(\theta)\right)^2.[/tex3]
[tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}= \Omega^2 A \sin(\theta) \cos(\theta) - \Omega C(\omega + \Omega \cos(\theta))\sin(\theta).[/tex3]
Usando a aproximação [tex3]\omega \gg \Omega,[/tex3] podemos desprezar os termos da ordem de [tex3]\Omega^2,[/tex3] ficando com [tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} \approx - \Omega C \omega \sin(\theta).[/tex3]
[tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=A \dot{\theta} \Longrightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right)=A \ddot{\theta}.[/tex3]
Então pela equação de Euler-Lagrange, [tex3]A \ddot{\theta}=- \Omega C \omega \sin(\theta),[/tex3] de onde fica evidente que o eixo do giroscópio oscila.
Para ângulos pequenos, [tex3]\sin(\theta) \approx \theta[/tex3] e [tex3]\ddot{\theta}=-\frac{\Omega C \omega}{A} \theta=- \Omega_0^2 \theta,[/tex3] sendo [tex3]\boxed{\Omega_0=\sqrt{\frac{\Omega C \omega}{A}}}[/tex3] a frequência angular de oscilação.
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
Um simples esboço da situação, mostrando o ângulo [tex3]\theta[/tex3] entre o eixo do giroscópio e a direção norte-sul local:
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Notando que não há energia potencial envolvida no problema, a Lagrangiana do giroscópio é simplesmente sua energia cinética, ficando (basta decompor as velocidades angulares nos eixos principais):
[tex3]\mathcal{L}=\frac{A}{2}\left(\dot{\theta}^2+\Omega^2 \sin^2(\theta)\right)+\frac{C}{2}\left(\omega + \Omega \cos(\theta)\right)^2.[/tex3]
[tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}= \Omega^2 A \sin(\theta) \cos(\theta) - \Omega C(\omega + \Omega \cos(\theta))\sin(\theta).[/tex3]
Usando a aproximação [tex3]\omega \gg \Omega,[/tex3] podemos desprezar os termos da ordem de [tex3]\Omega^2,[/tex3] ficando com [tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} \approx - \Omega C \omega \sin(\theta).[/tex3]
[tex3]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=A \dot{\theta} \Longrightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right)=A \ddot{\theta}.[/tex3]
Então pela equação de Euler-Lagrange, [tex3]A \ddot{\theta}=- \Omega C \omega \sin(\theta),[/tex3] de onde fica evidente que o eixo do giroscópio oscila.
Para ângulos pequenos, [tex3]\sin(\theta) \approx \theta[/tex3] e [tex3]\ddot{\theta}=-\frac{\Omega C \omega}{A} \theta=- \Omega_0^2 \theta,[/tex3] sendo [tex3]\boxed{\Omega_0=\sqrt{\frac{\Omega C \omega}{A}}}[/tex3] a frequência angular de oscilação.
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"
Editado pela última vez por παθμ em 23 Fev 2024, 23:06, em um total de 3 vezes.
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