Ensino Superior ⇒ Função e continuidade Tópico resolvido

[Ztriine]

Considere a função [tex3]\begin{cases}
\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}, y\neq \pm 2x \\
\frac{x+y}{4}, y=\pm 2x
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}, y\neq \pm 2x \\
\frac{x+y}{4}, y=\pm 2x
\end{cases}[/tex3]

e as afirmações:
I) f(1,2) = 3/4;
II) Existe lim (x,y)[tex3]\rightarrow (1,2) f(x,y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow (1,2) f(x,y)[/tex3]

;
III) f é contínua e, (1,2).

Resposta

---

Todas as afirmativas são corretas

Alguém poderia ne auxiliar de como chega nesta conclusão? Encontrei que apenas a I é correta.

[deOliveira]

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}, y\neq \pm 2x \\
\frac{x+y}{4}, y=\pm 2x
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}, y\neq \pm 2x \\
\frac{x+y}{4}, y=\pm 2x
\end{cases}[/tex3]

I) [tex3]f(1,2)=\frac{1+2}4=\frac34[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1,2)=\frac{1+2}4=\frac34[/tex3]

II) [tex3]\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}=\frac{3x(2x-y)}{(2x-y)(2x+y)}=\frac{3x}{2x+y}\\
\implies\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{3x}{2x+y}=\frac34[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{6x^2-3xy}{4x^2-y^2}=\frac{3x(2x-y)}{(2x-y)(2x+y)}=\frac{3x}{2x+y}\\
\implies\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{3x}{2x+y}=\frac34[/tex3]

Portanto existe o limite e ele vale [tex3]\frac34[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac34[/tex3]

.

III) Como [tex3]\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=f(1,2)=\frac34[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=f(1,2)=\frac34[/tex3]

temos que [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

é contínua em [tex3](1,2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1,2)[/tex3]

.

Espero ter ajudado.

[Ztriine]

deOliveira Muito obrigada! Acabei de ver que não tinha conseguido encontrar a resposta correta por causa de ter trocado os valores de x e y.