Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Algebra linear - transformação linear Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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thetruth
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Jul 2021
10
12:15
Algebra linear - transformação linear
Encontre uma transformação linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por [(1, 1, −1)].
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deOliveira
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Jul 2021
10
13:15
Re: Algebra linear - transformação linear
Considere [tex3]\mathcal{B}=\{(1,1,-1),(1,0,0),(0,1,0)\}[/tex3]
. Temos que
[tex3]\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&-1\end{pmatrix}=-1\ne0[/tex3]
Então [tex3]\mathcal B[/tex3] é uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] .
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que [tex3]\dim R^3=\dim Nuc T+\dim ImT[/tex3] , então como [tex3]Nuc T=[(1,1,-1)][/tex3] teremos que [tex3]\dim ImT =2[/tex3] .
Além disso sabemos que as colunas da matriz [tex3]T[/tex3] geram o conjunto imagem. Dessa forma vamos definir a transformação linear a partir de [tex3]\mathcal B[/tex3] da seguinte forma:
[tex3](1,1,-1)\mapsto (0,0,0)\\(1,0,0)\mapsto u\\(0,1,0)\mapsto v[/tex3]
com [tex3]\{u,v\}[/tex3] LI.
Podemos escolher [tex3]u=(1,0,0)[/tex3] e [tex3]v=(0,1,0)[/tex3] .
Como [tex3](0,0,1)=-(1,1,-1)+(1,0,0)+(0,1,0)[/tex3] teremos que [tex3]T(0,0,1)=-T(1,1,-1)+T(1,0,0)+T(0,1,0)=(0,0,0)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)[/tex3] .
Portanto, temos que
[tex3]T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,1,0)+y(1,0,0)+z(0,1,0)=(x+y,x+z,0)[/tex3]
Dessa forma, teremos que [tex3]Im T=[u,v]\implies \dim Im T=2[/tex3] . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, [tex3]\dim Nuc T=1[/tex3] .
Como [tex3][(1,1,-1)]\subset Nuc T[/tex3] e [tex3]\dim [(1,1,-1)]=1[/tex3] vamos ter que [tex3][(1,1,-1)]= Nuc T[/tex3] .
Espero ter ajudado.
[tex3]\det\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&-1\end{pmatrix}=-1\ne0[/tex3]
Então [tex3]\mathcal B[/tex3] é uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] .
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que [tex3]\dim R^3=\dim Nuc T+\dim ImT[/tex3] , então como [tex3]Nuc T=[(1,1,-1)][/tex3] teremos que [tex3]\dim ImT =2[/tex3] .
Além disso sabemos que as colunas da matriz [tex3]T[/tex3] geram o conjunto imagem. Dessa forma vamos definir a transformação linear a partir de [tex3]\mathcal B[/tex3] da seguinte forma:
[tex3](1,1,-1)\mapsto (0,0,0)\\(1,0,0)\mapsto u\\(0,1,0)\mapsto v[/tex3]
com [tex3]\{u,v\}[/tex3] LI.
Podemos escolher [tex3]u=(1,0,0)[/tex3] e [tex3]v=(0,1,0)[/tex3] .
Como [tex3](0,0,1)=-(1,1,-1)+(1,0,0)+(0,1,0)[/tex3] teremos que [tex3]T(0,0,1)=-T(1,1,-1)+T(1,0,0)+T(0,1,0)=(0,0,0)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)[/tex3] .
Portanto, temos que
[tex3]T(x,y,z)=xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,1,0)+y(1,0,0)+z(0,1,0)=(x+y,x+z,0)[/tex3]
Dessa forma, teremos que [tex3]Im T=[u,v]\implies \dim Im T=2[/tex3] . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, [tex3]\dim Nuc T=1[/tex3] .
Como [tex3][(1,1,-1)]\subset Nuc T[/tex3] e [tex3]\dim [(1,1,-1)]=1[/tex3] vamos ter que [tex3][(1,1,-1)]= Nuc T[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Editado pela última vez por deOliveira em 10 Jul 2021, 13:58, em um total de 1 vez.
Saudações.
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thetruth
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deOliveira
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Jul 2021
10
13:58
Re: Algebra linear - transformação linear
Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)[/tex3]
vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3]
e [tex3]b=c=1[/tex3]
. Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
Editado pela última vez por deOliveira em 10 Jul 2021, 13:59, em um total de 1 vez.
Saudações.
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thetruth
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Jul 2021
10
13:59
Re: Algebra linear - transformação linear
ah certodeOliveira escreveu: ↑10 Jul 2021, 13:58 Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,0,1)[/tex3] vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3] e [tex3]b=c=1[/tex3] . Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
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thetruth
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Jul 2021
10
18:14
Re: Algebra linear - transformação linear
uma dúvida, essa transformação linear é injetora?deOliveira escreveu: ↑10 Jul 2021, 13:58 Se resolver o sistema [tex3](0,0,1)=a(1,1,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)[/tex3] vai encontrar [tex3]a=-1[/tex3] e [tex3]b=c=1[/tex3] . Mas eu já resolvi de cabeça então já dei a resposta direto.
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deOliveira
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Jul 2021
10
19:54
Re: Algebra linear - transformação linear
Não.
Teorema: Uma transformação linear [tex3]T:U\rightarrow V[/tex3] é injetora se, e somente se, [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
Demonstração: [tex3](\Rightarrow) T[/tex3] é injetora, então, como toda transformação linear leva o vetor nulo no nulo teremos que [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Sejam [tex3]u,v\in U[/tex3] distintos. Suponha que [tex3]T(u)=T(v)\implies T(u)-T(v)=T(u-v)=0[/tex3] , daí [tex3]u-v\in Nuc T[/tex3] e como [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] são distintos temos que [tex3]u-v\ne0[/tex3] , que é um absurdo.
Espero ter ajudado.
Teorema: Uma transformação linear [tex3]T:U\rightarrow V[/tex3] é injetora se, e somente se, [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
Demonstração: [tex3](\Rightarrow) T[/tex3] é injetora, então, como toda transformação linear leva o vetor nulo no nulo teremos que [tex3]Nuc T=\{0\}[/tex3] .
[tex3](\Leftarrow)[/tex3] Sejam [tex3]u,v\in U[/tex3] distintos. Suponha que [tex3]T(u)=T(v)\implies T(u)-T(v)=T(u-v)=0[/tex3] , daí [tex3]u-v\in Nuc T[/tex3] e como [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] são distintos temos que [tex3]u-v\ne0[/tex3] , que é um absurdo.
Espero ter ajudado.
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