Ensino Superior ⇒ Algebra linear Tópico resolvido

[Squ3let0n]

Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:



(a) (a) W = {(x, y, z) ∈ R³; x − 2y + 3z = 0}

(b) W = {(x, y, z, w) ∈ [tex3]R^4{}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^4{}[/tex3]

; x − y = 0 e x + w = 0}.



Eu fiz e o meu resultado deu :

a) [(-2,1,0), (3,0,1)]

B) w = [(1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,-1,0,1)] , eu não sei se fiz certo, alguém pode me ajudar?

[deOliveira]

a) [tex3]W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x − 2y + 3z = 0\}[/tex3]

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[tex3]W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x − 2y + 3z = 0\}[/tex3]

Seja [tex3](x,y,z)\in W[/tex3]

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[tex3](x,y,z)\in W[/tex3]

dado. Logo:
[tex3]x − 2y + 3z = 0\implies\ x=2y-3z\\\implies(x,y,z)=(2y-3z,y,z)=(2y,y,0)+(-3z,0,z)=y(2,1,0)+z(-3,0,1)\\\implies W\subset[(2,1,0),(-3,0,1)][/tex3]

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[tex3]x − 2y + 3z = 0\implies\ x=2y-3z\\\implies(x,y,z)=(2y-3z,y,z)=(2y,y,0)+(-3z,0,z)=y(2,1,0)+z(-3,0,1)\\\implies W\subset[(2,1,0),(-3,0,1)][/tex3]

Como um dos vetores tem 0 na segunda coordenada e o outro tem segunda coordenada não nula, podemos concluir que eles são LI.
[tex3]2-2*1+3*0=0\implies(2,1,0)\in W\\-3-2*0+3*1=0\implies (-3,0,1)\in W\\\implies[(2,1,0),(-3,0,1)]\subset W\\\implies W=[(2,1,0),(-3,0,1)][/tex3]

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[tex3]2-2*1+3*0=0\implies(2,1,0)\in W\\-3-2*0+3*1=0\implies (-3,0,1)\in W\\\implies[(2,1,0),(-3,0,1)]\subset W\\\implies W=[(2,1,0),(-3,0,1)][/tex3]

[tex3]\therefore\{(2,1,0),(-3,0,1)\}[/tex3]

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[tex3]\therefore\{(2,1,0),(-3,0,1)\}[/tex3]

é conjunto gerador de [tex3]W[/tex3]

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[tex3]W[/tex3]

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b)[tex3]W = \{(x, y, z, w) ∈ \mathbb R^4 : x − y = 0\ e\ x + w = 0\}[/tex3]

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[tex3]W = \{(x, y, z, w) ∈ \mathbb R^4 : x − y = 0\ e\ x + w = 0\}[/tex3]

Seja [tex3](x,y,z,w)\in W[/tex3]

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[tex3](x,y,z,w)\in W[/tex3]

dado. Logo:
[tex3]\begin{cases}x-y=0\\x+w=0\end{cases}\implies\begin{cases}x=y\\w=-x\end{cases}\\
\implies(x,y,z,w)=(x,x,z,-x)=(x,x,0,-x)+(0,0,z,0)=x(1,1,0,-1)+z(0,0,1,0)\\
\implies W\subset[(1,1,0,-1),(0,0,1,0)][/tex3]

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[tex3]\begin{cases}x-y=0\\x+w=0\end{cases}\implies\begin{cases}x=y\\w=-x\end{cases}\\
\implies(x,y,z,w)=(x,x,z,-x)=(x,x,0,-x)+(0,0,z,0)=x(1,1,0,-1)+z(0,0,1,0)\\
\implies W\subset[(1,1,0,-1),(0,0,1,0)][/tex3]

Como um dos vetores tem 0 na preimeira coordenada e o outro tem primeira coordenada não nula, podemos concluir que eles são LI.
[tex3]1-1=0\ e\ 1+(-1)=0\implies(1,1,0,-1)\in W\\
0-0=0\ e\ 0+0=0\implies (0,0,1,0)\in W\\
\implies [(1,1,0,-1),(0,0,1,0)]\subset W\\\implies W=[(1,1,0,-1),(0,0,1,0)][/tex3]

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[tex3]1-1=0\ e\ 1+(-1)=0\implies(1,1,0,-1)\in W\\
0-0=0\ e\ 0+0=0\implies (0,0,1,0)\in W\\
\implies [(1,1,0,-1),(0,0,1,0)]\subset W\\\implies W=[(1,1,0,-1),(0,0,1,0)][/tex3]

.
[tex3]\therefore \{(1,1,0,-1),(0,0,1,0)\}[/tex3]

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[tex3]\therefore \{(1,1,0,-1),(0,0,1,0)\}[/tex3]

é conjunto gerador de [tex3]W[/tex3]

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[tex3]W[/tex3]

.

Espero ter ajudado.