Ensino Superior ⇒ Area do Circulo

[Ronny]

Determine a area da porcao de plano compreendida entre duas circunferencias concentricas, sabendo que e de 28,43m^3 a area do triangulo equilatero inscrito na circunferencia maior e circunscrito a menor( Pede-se o esboco).

Resposta: 51,6m^2.

[csmarcelo]

Se o triângulo é equilátero, então [tex3]S_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow l=2\sqrt{\frac{\sqrt{3}S_\Delta}{3}}[/tex3]

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[tex3]S_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow l=2\sqrt{\frac{\sqrt{3}S_\Delta}{3}}[/tex3]

. Essa é uma derivação do teorema de Héron para o cálculo da área de um triângulo.

Pela Lei dos Cossenos,

[tex3]l^2=2R^2(1-\cos120^\circ)=3R^2\rightarrow R=l\sqrt{\frac{1}{3}}[/tex3]

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[tex3]l^2=2R^2(1-\cos120^\circ)=3R^2\rightarrow R=l\sqrt{\frac{1}{3}}[/tex3]

Temos duas outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo. Uma envolve o raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

da circunferência inscrita; a outra, o raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

da circunferência circunscrita.

[tex3]S_\Delta=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)r[/tex3]

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[tex3]S_\Delta=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)r[/tex3]

[tex3]S_\Delta=\frac{abc}{4R}[/tex3]

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[tex3]S_\Delta=\frac{abc}{4R}[/tex3]

Como nosso triângulo é equilátero de lado [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

:

[tex3]S_\Delta=\frac{3lr}{2}[/tex3]

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[tex3]S_\Delta=\frac{3lr}{2}[/tex3]

[tex3]S_\Delta=\frac{l^3}{4R}[/tex3]

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[tex3]S_\Delta=\frac{l^3}{4R}[/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{3lr}{2}=\frac{l^3}{4R}\rightarrow r=\frac{l^2}{6R}=\frac{l^2}{6\left(l\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{l\sqrt{\frac{1}{3}}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3lr}{2}=\frac{l^3}{4R}\rightarrow r=\frac{l^2}{6R}=\frac{l^2}{6\left(l\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{l\sqrt{\frac{1}{3}}}{2}[/tex3]

A área do plano citada corresponde ao setor circular derivado da posição das duas circunferências:

[tex3]S=\pi(R^2-r^2)=\pi\left[\left(l\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2-\left(\frac{l\sqrt{\frac{1}{3}}}{2}\right)^2\right]=\frac{\pi l^2}{4}=\frac{\pi\left(2\sqrt{\frac{\sqrt{3}S_\Delta}{3}}\right)^2}{4}=\frac{\pi\sqrt{3}S_\Delta}{3}=\frac{\pi\sqrt{3}\cdot28,43}{3}\approx51,6[/tex3]

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[tex3]S=\pi(R^2-r^2)=\pi\left[\left(l\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2-\left(\frac{l\sqrt{\frac{1}{3}}}{2}\right)^2\right]=\frac{\pi l^2}{4}=\frac{\pi\left(2\sqrt{\frac{\sqrt{3}S_\Delta}{3}}\right)^2}{4}=\frac{\pi\sqrt{3}S_\Delta}{3}=\frac{\pi\sqrt{3}\cdot28,43}{3}\approx51,6[/tex3]