Ensino Superior

Calcular, por integração, o momento de inércia de um aro de massa $m$ e raio $r$ em relação a um diâmetro qualquer.

Resposta

$I=\frac{mr^2}{2}$

Mensagem não lidapor **jedi** » Ter 14 Jul, 2015 22:17 · Mensagem não lida por **jedi** » Ter 14 Jul, 2015 22:17

sendo uma distribuição homogena da massa então

$k=\frac{m}{2\pi.r}$

$I=\int R^2 dm$

$I=\int R^2 k. dv$

$dv=r.d\theta$

a distancia de cada ponto ao diametro $R=r.sen\theta$

$I=\int_{o}^{2\pi} (r.sen\theta)^2 k. r.d\theta$

$I=k.r^3\int_{o}^{2\pi} sen^2\theta^2.d\theta$

$I=k.r^3\int_{o}^{2\pi} \frac{1-cos(2\theta)}{2}.d\theta$

$I=k.r^3.\frac{2\pi}{2}$

$I=r^2.\frac{k.2\pi.r}{2}$

$I=r^2.\frac{m}{2}$

jedi:
Poderia postar a figura onde aparecessem $r$ , $d \theta$ e $dv$ ?
[ ]'s.

Mensagem não lidapor **jedi** » Qua 15 Jul, 2015 18:19 · Mensagem não lida por **jedi** » Qua 15 Jul, 2015 18:19

segue a figura

: circ.png (3.55 KiB) Exibido 559 vezes

: MOMINE.png (2.9 KiB) Exibido 555 vezes

jedi:
Agradeço a resposta enviada, que indicou-me como resolver a questão.
Todavia, os meus cálculos ficaram um pouco diferentes.
Para melhor visualisação o $dl$ e o $d\theta$ estão exagerados.
Densidade linear: $k=\frac{m}{2\pi R}$ ; $dm=k.dl\rightarrow dm=\frac{m}{2\pi R} dl$ ...I
Temos: $dl=Rd\theta$ ...II e $r=Rsen\theta\rightarrow r^2=R^2sen^2\theta$ ...III
De I e II: $dm=\frac{m}{2\pi R}.Rd\theta\rightarrow dm=\frac{md\theta}{2\pi}$ ...IV
Sendo $I=\int r^2dm$ e substituindo os valores de III e IV: $I=\int _{0}^{2\pi}R^2 sen^2\theta . \frac{md\theta}{2\pi}\rightarrow I=\frac{R^2m}{2\pi}\int_{0}^ {2\pi}sen^2\theta d\theta$ ...V

$\int_{0}^{2\pi}sen^2\theta d\theta=\int _{0} ^{2\pi}\frac{1-cos2\theta}{2}d\theta$
$\frac{1}{2}\int _{0}^{2\pi}(1-sen2 \theta)d\theta=\frac{1}{2}\Big|\theta-sen2 \theta \Big|_{0}^{2\pi}=\pi$
Substituindo o valor da integral em V: $I=\frac{R^2 m}{2\pi}\times \pi=\frac{R^2m}{2}$
Penso que é isso.
[ ]'s.

Mensagem não lidapor **jedi** » Qui 16 Jul, 2015 18:59 · Mensagem não lida por **jedi** » Qui 16 Jul, 2015 18:59

Exatamente isso aleixoreis

Só ficar atento que neste caso tratas-se de um objeto de uma só dimensão com uma distribuição linear de massa, em outros casos temos objetos de duas dimensões ou três que requerem integração dupla de área ou tripla de volume, mas o raciocinio é esse.

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