Ensino Superior

Mais uma que eu não consegui fazer de integração por substituição trigonométrica :/

Ao calcular [tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1-4x^{2}}dx[/tex3] , fez-se a mudança de variável [tex3]sen(u)=2x[/tex3] , obtendo-se finalmente como resultado

(A) $2x\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{1}{4}arcsen(2x)$
(B) $x\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{1}{2}arcsen(2x)$
(C) $\frac{x}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{1}{4}arcsen(2x)$
(D) $2x\sqrt{1-4x^{2}}+arcsen(2x)$
(E) $\frac{1}{4}arcsen(2x)$

Resposta

(C) $\frac{x}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+\frac{1}{4}arcsen(2x)$

Olá, Nelson.

Seja $2x=\sin u$ , então $2dx=\cos u\,du$ e $-\frac{\pi}{2}\leq u\leq \frac{\pi}{2}$ .

Dessa forma,

$\int \sqrt{1-4x^2}\,dx$

$\frac{1}{2}\,\int \sqrt{1-\sin^2 u}\,\cos u\,du$

$\frac{1}{2}\,\int \cos^2 u\,du$

$\frac{1}{2}\int\left( \frac{1}{2} \cos 2u+\frac{1}{2}\right) du$

$\frac{1}{8}\, \sin 2u+\frac{1}{4}\,u+c$

Sabemos que:

$\sin 2u=2\sin u\,\cos u$

$\cos u= \sqrt{1-\sin^2u}$ (No intervalo determinado)

Então,

$\sin 2u=4x\sqrt{1-4x^2}$

$u=\arcsin 2x$

Portanto,

$\int \sqrt{1-4x^2}\,dx\,\,=\,\,\frac{1}{2}\,x\sqrt{1-4x^2}+\frac{1}{4}\,\arcsin 2x+c$

Ele nos forçou a usar a substituição trigométrica, porém se você ver a solução do Vinisth na questão anterior, verá que é bem mais rápido integrar por partes.

Espero ter ajudado, abraço.

Entendi quase tudo, só faltou eu entender, o porquê que:

$\sin 2u=4x\sqrt{1-4x^2}$

Por gentileza, tu podes me explicar como chegaste a essa conclusão?

Nelson,

$\sin 2u=2\sin u \cos u$

Sabemos que $|\cos u|=\sqrt{1-\sin^2u}$ , porém $-\frac{\pi}{2}\leq u\leq \frac{\pi}{2}$ então o cosseno é positivo deste intervalo.

Então,

$\sin 2u=2\sin u \sqrt{1-\sin^2 u}$

Na substituição de variável, disse que $\sin u=2x$ , assim,

$\sin 2u=2(2x)\sqrt{1-(2x)^2}$

$\sin 2u=4x\sqrt{1-4x^2}$

Espero ter ajudado, abraço.

Agora entendi! Valeu Jr, Obrigadão mesmo! =D

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