Ensino Superior ⇒ (Mobex/UFPA - 2010) Integral Tópico resolvido

[NelsonNNY]

Pessoal, não estou conseguindo resolver uma questão, alguém me explica como faz essa aqui, por favor?

O valor de

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[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}} dx[/tex3]

é:

(A)

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[tex3]0[/tex3]

(B)

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[tex3]2\pi[/tex3]

(C)

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[tex3]\pi[/tex3]

(D)

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[tex3]-\pi[/tex3]

(E)

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[tex3]1[/tex3]

Resposta

---

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[tex3](B) 2 \pi[/tex3]

[Vinisth]

Olá NelsonNNY,

Por partes :

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[tex3]I=\int 1\cdot\sqrt{4-x^2}dx=\int dx \sqrt{4-x^2}-\int \left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{dx}\int dx\right)dx[/tex3]

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[tex3]=x\sqrt{4-x^2}-\int\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}xdx[/tex3]

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[tex3]=x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4-(4-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}dx[/tex3]

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[tex3]=x\sqrt{4-x^2}+\int\frac1{\sqrt{4-x^2}}dx-I[/tex3]

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[tex3]\boxed{\int \sqrt{4-x^{2}}dx=\frac12 x\sqrt{4-x^2} + \frac12 \sin^{-1}\frac{x}{2} + C}[/tex3]

Consegue agora ?

Abraço !

[NelsonNNY]

Desculpe, mas não entendi quase nada... kkkkkk

eu tentei pelo método da substituição trigonométrica:

[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx[/tex3]

[tex3]x=2sen\theta \rightarrow dx=2cosd\theta[/tex3]

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[tex3]x=2sen\theta \rightarrow dx=2cosd\theta[/tex3]

[tex3]x=2sen\theta \rightarrow sen\theta=\frac{x}{2}\therefore \boxed{ \theta =sen^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]x=2sen\theta \rightarrow sen\theta=\frac{x}{2}\therefore \boxed{ \theta =sen^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

P/ Limite inferior de integração: [tex3]x=-2[/tex3]

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[tex3]x=-2[/tex3]

[tex3]\theta =sen^{-1}\left(-\frac{2}{2}\right)=sen^{-1}(-1)=\frac{3\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]\theta =sen^{-1}\left(-\frac{2}{2}\right)=sen^{-1}(-1)=\frac{3\pi }{2}[/tex3]

P/ Limite superior de integração: [tex3]x=2[/tex3]

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[tex3]x=2[/tex3]

[tex3]\theta =sen^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)=sen^{-1}(1)=\frac{\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]\theta =sen^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)=sen^{-1}(1)=\frac{\pi }{2}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx=\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4-(2sen\theta )^{2}}.2cos\theta d\theta=2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4(1-sen^{2}\theta )}d\theta=2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4cos^{2}\theta }.cos\theta d\theta= 2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2.cos\theta .cos\theta d\theta=4\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\theta d\theta[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx=\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4-(2sen\theta )^{2}}.2cos\theta d\theta=2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4(1-sen^{2}\theta )}d\theta=2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4cos^{2}\theta }.cos\theta d\theta= 2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2.cos\theta .cos\theta d\theta=4\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\theta d\theta[/tex3]

[tex3]sen^{2}\theta +cos^{2}\theta=1\therefore \boxed{sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta}[/tex3]

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[tex3]sen^{2}\theta +cos^{2}\theta=1\therefore \boxed{sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta}[/tex3]

[tex3]cos(2\theta)=cos^{2}\theta -sen^{2}\theta\therefore \boxed{sen^{2}\theta =cos^{2}\theta -cos(2\theta )[/tex3]

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[tex3]cos(2\theta)=cos^{2}\theta -sen^{2}\theta\therefore \boxed{sen^{2}\theta =cos^{2}\theta -cos(2\theta )[/tex3]

igualando as identidades trigonométricas:

[tex3]1-cos^{2}\theta=cos^{2}\theta-cos(2\theta) \rightarrow 2cos^{2}\theta=1+cos(2\theta)\therefore \boxed{cos^{2}\theta =\frac{1+cos(2\theta )}{2}[/tex3]

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[tex3]1-cos^{2}\theta=cos^{2}\theta-cos(2\theta) \rightarrow 2cos^{2}\theta=1+cos(2\theta)\therefore \boxed{cos^{2}\theta =\frac{1+cos(2\theta )}{2}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\theta d\theta =4\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{1+cos(2\theta )}{2}\right)d\theta = 2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1+cos(2\theta )d\theta = 2[\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta +\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta ][/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos^{2}\theta d\theta =4\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{1+cos(2\theta )}{2}\right)d\theta = 2\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1+cos(2\theta )d\theta = 2[\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta +\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta ][/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta = [\theta ]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{2}=-\frac{2\pi }{2} \therefore \boxed{\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta =-\pi[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta = [\theta ]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{2}=-\frac{2\pi }{2} \therefore \boxed{\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta =-\pi[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta[/tex3]

[tex3]2\theta =u\rightarrow 2d\theta =du \therefore \boxed{d\theta =\frac{1}{2}du[/tex3]

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[tex3]2\theta =u\rightarrow 2d\theta =du \therefore \boxed{d\theta =\frac{1}{2}du[/tex3]

[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta =\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(u) \left(\frac{1}{2}du\right)=\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(u)du=\frac{1}{2}[-sen(u)]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}[-sen(2\theta )]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} =\frac{1}{2}\{-sen\left(2\frac{\pi }{2}\right)-\[-sen\left(2\frac{3\pi }{2}\right) \]\}=\frac{1}{2}\[-sen(\pi )+sen(3\pi )\]=0\therefore \boxed{\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos(2\theta )d\theta =0[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta =\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(u) \left(\frac{1}{2}du\right)=\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(u)du=\frac{1}{2}[-sen(u)]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}[-sen(2\theta )]_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} =\frac{1}{2}\{-sen\left(2\frac{\pi }{2}\right)-\[-sen\left(2\frac{3\pi }{2}\right) \]\}=\frac{1}{2}\[-sen(\pi )+sen(3\pi )\]=0\therefore \boxed{\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos(2\theta )d\theta =0[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{2\[\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta +\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta \]=2(-\pi+0)=-2\pi[/tex3]

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[tex3]\therefore \boxed{2\[\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta +\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos(2\theta )d\theta \]=2(-\pi+0)=-2\pi[/tex3]

O certo é somente [tex3]2\pi[/tex3]

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[tex3]2\pi[/tex3]

, e o meu resultado, tá [tex3]-2\pi[/tex3]

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[tex3]-2\pi[/tex3]

, Não consegui detectar o meu erro nessa minha resolução. Só errei o sinal do resultado, só isso...

[jrneliodias]

Olá, Nelson.

Realmente, o que você errou foi o sinal. Vamos refazer o começo:

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[tex3]\sqrt{4-x^2}[/tex3]

Fazemos

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[tex3]x=2\sin a[/tex3]

, porém devemos impor que

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[tex3]-\frac{\pi}{2}\leq a\leq \frac{\pi}{2}[/tex3]

. Por que devemos fazer isso? Vamos ver a frente.

Prosseguindo,

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[tex3]\sqrt{4-x^2}\,=\,2\sqrt{\cos^2 a}\,=\,2\,|\cos a|[/tex3]

Agora está explicado: No intervalo determinado,

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[tex3]|\cos a|=\cos a[/tex3]

. Entende? É sutil mesmo.

Esse intervalo também influenciará nos limites.

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[tex3]2\sin a=2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]2\sin a =-2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=-\frac{\pi}{2}[/tex3]

Portanto,

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[tex3]\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,dx\,\,=\,\,\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2 (a)\,da=2\pi[/tex3]

Perceba que seus limites estão estranhos, você está somado de um arco maior para o menor. Se você quiser trabalhar com arcos da primeira volta, então faça

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[tex3]\frac{\pi}{2}\leq a \leq \frac{3\pi}{2}[/tex3]

Mas, neste caso,

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[tex3]|\cos a|=-\cos a[/tex3]

. Logo, o sinal negativo vai sumir.

Espero ter ajudado, abraço.

[Vinisth]

Eu utilizei integração por partes. Utilizando substituição trigonométrica fica um pouco longo a solução.

Só corrigindo ...

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[tex3]I=x\sqrt{4-x^2}+\int\frac4{\sqrt{4-x^2}}dx-I[/tex3]

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[tex3]\boxed{I=\int \sqrt{4-x^{2}}dx=\frac12 x\sqrt{4-x^2} + 2 \sin^{-1}\frac{x}{2} + C}[/tex3]

Um forte abraço à todos !

[NelsonNNY]

Valeu, pessoal! Agora entendi melhor...

Realmente aqueles limites estavam estranhos, só agora que fui perceber...

Obrigadão mesmo heim!