Ensino Superior

JulianoC

Olá!

Alguém sabe resolver e me explicar essa questão:

07) Mostre que:
P(A [tex3]\cup[/tex3] B [tex3]\cup[/tex3] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [tex3]\cap[/tex3] B) - P(A [tex3]\cap[/tex3] C) - P(B [tex3]\cap[/tex3] C) + P(A [tex3]\cap[/tex3] B [tex3]\cap[/tex3] C)

RafaeldeLima

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Quando você soma $P(A) + P(B) + P(C)$ , você está somando duas vezes as áreas de interseção, que são $P(A \cap B) \ , \ P(A \cap C) \ e \ P(B \cap C)$ , e também está somando 3 vezes a área de interseção
tripla [ $P(A \cap B \cap C)$ ], [uma soma para $P(A \cap B)$ , outra para $P(A \cap C)$ e outra para $P(B \cap C)$ ].

.

Logo, você precisa subtrair uma vez $P(A \cap B) \ , \ P(A \cap C) \ e \ P(B \cap C)$ , por isso elas aparecem subtraindo.

Entretanto, quando você subtrai $P(A \cap B) \ , \ P(A \cap C) \ e \ P(B \cap C)$ , você também subtrai 3 vezes a área $P(A \cap B \cap C)$ , pois uma subtração de $P(A \cap B \cap C)$ ocorre quando se subtrai $P(A \cap B)$ , outra ocorre quando se subtrai $P(A \cap C)$ e outra ainda quando se subtrai $P(B \cap C)$ .

Então é necessário repor uma vez $P(A \cap B \cap C)$ , e por isso aparece somando.

Ou seja:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

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