Ensino Superior ⇒ Distribuição de Probabilidade Tópico resolvido
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Mai 2014
12
04:04
Distribuição de Probabilidade
6) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Retire 3 bolas sem reposição e defina a V.A. X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X, X² e 3X. Calcule a esperança de cada uma delas.
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Set 2022
23
21:34
Re: Distribuição de Probabilidade
Observe
Perceba que não há reposição: a primeira extração tem cinco (5) possibilidades em oito (8) de ser uma bola preta; mas, a segunda terá cinco (5) em sete (7) se a primeira for vermelha, ou quatro (4) em sete (7) se a primeira foi preta, e assim por diante.
A partir do gráfico, podemos construir uma tabela com os eventos PPP , PPV , etc.
[tex3]\begin{array}{rr|cc}
\hline Extrações && Probabilidade \\
\hline PPP && 5/8×4/7×3/6 = 5/28 \\
\hline PPV && 5/8×4/7×3/6 = 5/28 \\
\hline PVP && 5/8×3/7×4/6 = 5/28 \\
\hline VPP && 3/8×5/7×4/6 = 5/28 \\
\hline PVV && 5/8×3/7×2/6 = 5/56 \\
\hline VPV && 3/8×5/7×2/6 = 5/56 \\
\hline VVP && 3/8×2/7×5/6 = 5/56 \\
\hline VVV && 3/8×2/7×1/6 = 1/56 \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Finalmente, observe que são equivalentes os eventos:
{X = 0} = {VVV}
{X = 1} = {VVP} ∪ {VPV} ∪ {PVV}
{X = 2} = {PPV} ∪ {PVP} ∪ {VPP}
{X = 3} = {PPP}
Somando as probabilidades dos eventos, encontradas
anteriormente, obtemos a função de distribuição de X :
[tex3]\begin{array}{rr|cc|cc|cc|cc}
\hline X && 0 && 1 && 2 && 3 \\
\hline p_{X}( X ) && 0,02 && 0,27 && 0,53 && 0,18 \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Podemos calcular a esperança de X a partir de sua função de probabilidade:
E(X) = [tex3]\sum_{X=1}^{4} X . p_{X}( X )[/tex3] = 0×0,02 + 1×0,27 + 2×0,53 + 3×0,18 = 1,87.
Excelente estudo!
Uma solução:Borracha22 escreveu: ↑Seg 12 Mai, 2014 04:046) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Retire 3 bolas sem reposição e defina a V.A. X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X. Calcule a esperança.
Perceba que não há reposição: a primeira extração tem cinco (5) possibilidades em oito (8) de ser uma bola preta; mas, a segunda terá cinco (5) em sete (7) se a primeira for vermelha, ou quatro (4) em sete (7) se a primeira foi preta, e assim por diante.
A partir do gráfico, podemos construir uma tabela com os eventos PPP , PPV , etc.
[tex3]\begin{array}{rr|cc}
\hline Extrações && Probabilidade \\
\hline PPP && 5/8×4/7×3/6 = 5/28 \\
\hline PPV && 5/8×4/7×3/6 = 5/28 \\
\hline PVP && 5/8×3/7×4/6 = 5/28 \\
\hline VPP && 3/8×5/7×4/6 = 5/28 \\
\hline PVV && 5/8×3/7×2/6 = 5/56 \\
\hline VPV && 3/8×5/7×2/6 = 5/56 \\
\hline VVP && 3/8×2/7×5/6 = 5/56 \\
\hline VVV && 3/8×2/7×1/6 = 1/56 \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Finalmente, observe que são equivalentes os eventos:
{X = 0} = {VVV}
{X = 1} = {VVP} ∪ {VPV} ∪ {PVV}
{X = 2} = {PPV} ∪ {PVP} ∪ {VPP}
{X = 3} = {PPP}
Somando as probabilidades dos eventos, encontradas
anteriormente, obtemos a função de distribuição de X :
[tex3]\begin{array}{rr|cc|cc|cc|cc}
\hline X && 0 && 1 && 2 && 3 \\
\hline p_{X}( X ) && 0,02 && 0,27 && 0,53 && 0,18 \\
\hline
\end{array}[/tex3]
Podemos calcular a esperança de X a partir de sua função de probabilidade:
E(X) = [tex3]\sum_{X=1}^{4} X . p_{X}( X )[/tex3] = 0×0,02 + 1×0,27 + 2×0,53 + 3×0,18 = 1,87.
Excelente estudo!
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