Ensino Superior ⇒ Método de variação de parâmetros (Lagrange) E.D.O.

[Jonathas]

No Método de variação de parametros (LAGRANGE) E.D.O.

Resolva a E.D.O. >> y'' + y = sec(x) onde x pertence (0, PI/2)

Solução: primeiro encontrar a solução da equação homogenea.
Logo após deu um resultado assim >>> yp(t)= u1(t)cos(t) + u2(t)sen(t) onde u1 e u2 são funções definidas onde a E.D.O. tem solução!

minha dúvida é quando o Lagrange fez a derivada primeira de yp(t) assim>> yp'(t)= u1'(t)cos(t) - u1(t)sen(t) + u2'(t)sen(t) + u2(t)cos(t)

Porque ele assume: u1'(t)cos(t) + u2'(t)sen(t) = 0(zero) <<< Porque essa igualdade à zero?


Quem puder me ajudar com essa dúvida, desde já obrigado pessoal!!!

[lftm]

Bem, realmente não sei explicar como Lagrange chegou nesse método, o argumento é meio aleatório. Só dá pra verificar que dá certo. Provavelmente, ele ficou bastante tempo olhando essas equações e ficou tentando maneiras de simplificar as contas até que chegou nisso.

A idéia é a seguinte: para resolver uma EDO linear não-homogênea, você só precisa encontrar uma solução particular, então nós podemos impor restrições arbitrárias sobre alguns termos das derivadas para simplificar as contas. Se ainda conseguirmos achar uma solução no final de tudo isso, atingimos nosso objetivo, pois as soluções da EDOL homogênea vão nos dar a solução geral. Se nós forçarmos todas as somas em que aparece u' a darem zero, podemos continuar derivando o produto dessas funções indefinidamente que o número de termos não vai crescer.

Ao jogarmos na EDO, veremos que a última soma (u' y(n-1), sendo n a ordem da EDO) tem que dar o termo independente. Aí, reduzimos nosso problema a um sistema linear de funções, que é bem mais fácil de resolver. Sempre será possível resolver esse sistema porque o determinante será o Wronskiano das funções LI que formam a sol. geral da EDO homogênea, que será sempre diferente de zero.

[Natan]

De fato, eu tb gostaria de uma explicação para o porque do funcionamento do método da variação dos parâmetros.