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Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
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Dez 2020
29
20:43
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 59
Fácil ver que [tex3]mdc(a,b)|33 [/tex3] , então [tex3]mdc(a,b)\in \{1,3,11,33\}[/tex3]
1° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 33\rightarrow \begin{cases}
a=33x \\
b=33y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]33x + 33y + 33 = 33[/tex3]
[tex3]x+y = 0[/tex3]
Sem solução para inteiros positivos
2° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 11\rightarrow \begin{cases}
a=11x \\
b=11y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]11x + 11y + 11 = 33[/tex3]
[tex3]x + y = 2[/tex3]
única solução: [tex3](x,y) = (1,1)\rightarrow (a,b) = (11,11) [/tex3]
3° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 3\rightarrow \begin{cases}
a=3x \\
b=3y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]3x + 3y + 3 = 33[/tex3]
[tex3]x + y = 10[/tex3]
Soluções:
[tex3](x,y) = (1,9),(3,7) [/tex3]
[tex3](a,b) = (3,27),(9,21) [/tex3]
4° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 1 [/tex3]
[tex3]a+b = 32[/tex3]
Soluções:
[tex3](a,b) = (1,31),(3,29),(5,27),(7,25),(9,23),(11,21),(13,19),(15,17) [/tex3]
Obviamente as soluções são simétricas, se o par [tex3](a,b) [/tex3] é solução então o par [tex3](b,a) [/tex3] também será.
Então o número total de soluções são: [tex3]1+2\cdot 2+ 2\cdot 8 = \boxed{21} [/tex3]
____________________________________________________________________________________________________________
Problema 60
(México - 2017) Sejam a e b inteiros positivos. Prove que [tex3]a^2b = 2017 \cdot (a+b) [/tex3] não tem solução.
Fácil ver que [tex3]mdc(a,b)|33 [/tex3] , então [tex3]mdc(a,b)\in \{1,3,11,33\}[/tex3]
1° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 33\rightarrow \begin{cases}
a=33x \\
b=33y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]33x + 33y + 33 = 33[/tex3]
[tex3]x+y = 0[/tex3]
Sem solução para inteiros positivos
2° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 11\rightarrow \begin{cases}
a=11x \\
b=11y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]11x + 11y + 11 = 33[/tex3]
[tex3]x + y = 2[/tex3]
única solução: [tex3](x,y) = (1,1)\rightarrow (a,b) = (11,11) [/tex3]
3° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 3\rightarrow \begin{cases}
a=3x \\
b=3y
\end{cases}\rightarrow mdc(x,y) = 1 [/tex3]
[tex3]3x + 3y + 3 = 33[/tex3]
[tex3]x + y = 10[/tex3]
Soluções:
[tex3](x,y) = (1,9),(3,7) [/tex3]
[tex3](a,b) = (3,27),(9,21) [/tex3]
4° Caso: [tex3]mdc(a,b) = 1 [/tex3]
[tex3]a+b = 32[/tex3]
Soluções:
[tex3](a,b) = (1,31),(3,29),(5,27),(7,25),(9,23),(11,21),(13,19),(15,17) [/tex3]
Obviamente as soluções são simétricas, se o par [tex3](a,b) [/tex3] é solução então o par [tex3](b,a) [/tex3] também será.
Então o número total de soluções são: [tex3]1+2\cdot 2+ 2\cdot 8 = \boxed{21} [/tex3]
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Problema 60
(México - 2017) Sejam a e b inteiros positivos. Prove que [tex3]a^2b = 2017 \cdot (a+b) [/tex3] não tem solução.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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30
09:21
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 60
se vc tentar fatorar o 2017 vai ver que ele é primo
[tex3]a^2b = 2017 \cdot (a+b) [/tex3]
da equação acima podemos concluir que [tex3]b|2017a+2017b\implies b|2017a[/tex3]
logo existe um inteiro z tal que [tex3]2017a = bz[/tex3]
e, também da equação acima podemos concluir que [tex3]a|2017b[/tex3] e desta forma existe um inteiro w tal que [tex3]wa=2017b\implies2017aw=2017^2b\implies bzw=2017^2b\implies zw = 2017^2[/tex3] como z e w são inteiros e 2017 é primo temos três possibilidades para z na nossa equação acima [tex3]z = 1[/tex3] , [tex3]z = 2017[/tex3] , [tex3]z = 2017^2[/tex3]
[tex3]z = 1\implies b=2017a[/tex3]
como queremos soluções nos inteiros positivos [tex3]a\neq0[/tex3] e [tex3]b\neq0[/tex3]
[tex3]2017a^3 = 2017 \cdot (a+2017a) [/tex3]
[tex3]a^2=2018[/tex3] e 2018 não é quadrado perfeito
[tex3]z=2017\implies a = b[/tex3]
[tex3]a^3=2017\cdot2a[/tex3]
[tex3]a^2=2017\cdot2\implies a\notin \mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]z=2017^2\implies a=2017b[/tex3]
[tex3]2017^2\cdot b^3=2017(2018b)[/tex3]
[tex3]2017b^2=2018\implies b\notin \mathbb{Z}[/tex3]
concluímos então que não há solução inteira
Problema 61
(Brasil-2009) Prove que não existem inteiros positivos x e y tais que x
[tex3]x^3+y^3=2^{2009}[/tex3]
se vc tentar fatorar o 2017 vai ver que ele é primo
[tex3]a^2b = 2017 \cdot (a+b) [/tex3]
da equação acima podemos concluir que [tex3]b|2017a+2017b\implies b|2017a[/tex3]
logo existe um inteiro z tal que [tex3]2017a = bz[/tex3]
e, também da equação acima podemos concluir que [tex3]a|2017b[/tex3] e desta forma existe um inteiro w tal que [tex3]wa=2017b\implies2017aw=2017^2b\implies bzw=2017^2b\implies zw = 2017^2[/tex3] como z e w são inteiros e 2017 é primo temos três possibilidades para z na nossa equação acima [tex3]z = 1[/tex3] , [tex3]z = 2017[/tex3] , [tex3]z = 2017^2[/tex3]
[tex3]z = 1\implies b=2017a[/tex3]
como queremos soluções nos inteiros positivos [tex3]a\neq0[/tex3] e [tex3]b\neq0[/tex3]
[tex3]2017a^3 = 2017 \cdot (a+2017a) [/tex3]
[tex3]a^2=2018[/tex3] e 2018 não é quadrado perfeito
[tex3]z=2017\implies a = b[/tex3]
[tex3]a^3=2017\cdot2a[/tex3]
[tex3]a^2=2017\cdot2\implies a\notin \mathbb{Z}[/tex3]
[tex3]z=2017^2\implies a=2017b[/tex3]
[tex3]2017^2\cdot b^3=2017(2018b)[/tex3]
[tex3]2017b^2=2018\implies b\notin \mathbb{Z}[/tex3]
concluímos então que não há solução inteira
Problema 61
(Brasil-2009) Prove que não existem inteiros positivos x e y tais que x
[tex3]x^3+y^3=2^{2009}[/tex3]
Editado pela última vez por Deleted User 25040 em 30 Dez 2020, 09:25, em um total de 1 vez.
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Dez 2020
30
16:24
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 61
[tex3]x^3+y^3 = (2^3)^{669}\cdot 2^2 [/tex3]
[tex3]x^3+y^3 \equiv 4 \mod(7) [/tex3]
Mas os resíduos cúbicos de 7 são:
[tex3]\begin{cases}
a \equiv 0\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 0 \mod(7) \\
a \equiv 1\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 2\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 3\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7) \\
a \equiv 4\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 5\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7) \\
a \equiv 6\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7)
\end{cases}[/tex3]
Como percebe-se não tem jeito de dar 4, assim não existe solução.
_____________________________________________________________________________________________________
Problema 62
(Albânia - 2012) Encontre todos os primos p, tais que [tex3]p+2 [/tex3] e [tex3]p^2+2p-8 [/tex3] também sejam primos.
p = 3
[tex3]x^3+y^3 = (2^3)^{669}\cdot 2^2 [/tex3]
[tex3]x^3+y^3 \equiv 4 \mod(7) [/tex3]
Mas os resíduos cúbicos de 7 são:
[tex3]\begin{cases}
a \equiv 0\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 0 \mod(7) \\
a \equiv 1\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 2\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 3\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7) \\
a \equiv 4\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 1 \mod(7) \\
a \equiv 5\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7) \\
a \equiv 6\mod(7)\rightarrow a^3 \equiv 6 \mod(7)
\end{cases}[/tex3]
Como percebe-se não tem jeito de dar 4, assim não existe solução.
_____________________________________________________________________________________________________
Problema 62
(Albânia - 2012) Encontre todos os primos p, tais que [tex3]p+2 [/tex3] e [tex3]p^2+2p-8 [/tex3] também sejam primos.
Resposta
p = 3
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Dez 2020
31
12:20
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 62
vamos estudar os restos que esses números deixam na divisão por 3
[tex3]p\equiv1(\mod3)\implies p+2\equiv0(\mod3)[/tex3]
mas então [tex3]3|p+2[/tex3] e [tex3]p + 2[/tex3] é primo, então a única possibilidade seria [tex3]3=p+2[/tex3] mas para isso teríamos [tex3]p = 1[/tex3] e 1 não é primo
[tex3]p\equiv2(\mod3)\implies p^2+2p-8\equiv4+4-8\equiv0(\mod 3)[/tex3] novamente, como 3 e [tex3]p^2+2p-8[/tex3] são primos só podemos ter [tex3]p^2+2p-8=3\iff p=-1\pm2\sqrt{3}[/tex3] mas p não vai ser inteiro mas queremos que [tex3]p[/tex3] , [tex3]p+2[/tex3] e [tex3]p^2+2p-8[/tex3] sejam números primos o que não ocorre aqui
o último caso é [tex3]p\equiv0(\mod3)\iff3|p\implies p=3[/tex3] porque 3 e p são números primos
vamos ver agora se os outros número são primos [tex3]3+2=5[/tex3] e 5 é primo [tex3]3^2+6-8=7[/tex3] que também e primo, logo nossa única solução é [tex3]p = 3[/tex3]
Problema 63
(Brasil-2012)
Os dois menores números primos da forma [tex3]n^2 + 5[/tex3] são [tex3]6^2+ 5 = 41[/tex3] e [tex3]12^2+ 5 = 149[/tex3] . Qual é o terceiro menor primo dessa forma?
vamos estudar os restos que esses números deixam na divisão por 3
[tex3]p\equiv1(\mod3)\implies p+2\equiv0(\mod3)[/tex3]
mas então [tex3]3|p+2[/tex3] e [tex3]p + 2[/tex3] é primo, então a única possibilidade seria [tex3]3=p+2[/tex3] mas para isso teríamos [tex3]p = 1[/tex3] e 1 não é primo
[tex3]p\equiv2(\mod3)\implies p^2+2p-8\equiv4+4-8\equiv0(\mod 3)[/tex3] novamente, como 3 e [tex3]p^2+2p-8[/tex3] são primos só podemos ter [tex3]p^2+2p-8=3\iff p=-1\pm2\sqrt{3}[/tex3] mas p não vai ser inteiro mas queremos que [tex3]p[/tex3] , [tex3]p+2[/tex3] e [tex3]p^2+2p-8[/tex3] sejam números primos o que não ocorre aqui
o último caso é [tex3]p\equiv0(\mod3)\iff3|p\implies p=3[/tex3] porque 3 e p são números primos
vamos ver agora se os outros número são primos [tex3]3+2=5[/tex3] e 5 é primo [tex3]3^2+6-8=7[/tex3] que também e primo, logo nossa única solução é [tex3]p = 3[/tex3]
Problema 63
(Brasil-2012)
Os dois menores números primos da forma [tex3]n^2 + 5[/tex3] são [tex3]6^2+ 5 = 41[/tex3] e [tex3]12^2+ 5 = 149[/tex3] . Qual é o terceiro menor primo dessa forma?
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Jan 2021
01
18:06
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do Problema 63
n deve ser par, do contrário [tex3]n^2+5[/tex3] seria um número par maior que 2. Então [tex3]n = 2k\rightarrow 4k^2+5[/tex3]
Se mdc(k,3)=1, então pelo pequeno teorema de fermat:
[tex3]4k^2+5\equiv 9 \equiv 0 \mod(3)[/tex3]
será um múltiplo de 3 maior que 3 e portanto não será primo. Sendo assim: [tex3]k = 3q\rightarrow 36q^2+5[/tex3] .
Para q=1 dá primo: 41
Para q=2 dá primo: 149
para q=3 não dá primo porque é múltiplo de 7: [tex3]36\cdot 9+5\equiv 1\cdot 2-2 \equiv 0 \mod(7)[/tex3]
Para q=4 não dá primo porque é múltiplo de 7: [tex3]36\cdot 16+5\equiv 1\cdot 2-2 \equiv 0 \mod(7)[/tex3]
Para q=5 não dá primo porque é múltiplo de 5 obviamente
Para q=6 dá primo: [tex3]36\cdot 36+5=\boxed{1301}[/tex3]
___________________________________________________________________________________________________________
Problema 64
(República Tcheca - 2012) Encontre todos os inteiros n tais que [tex3]n^4-3n^2+9 [/tex3] é um número primo.
-2,-1,1,2
n deve ser par, do contrário [tex3]n^2+5[/tex3] seria um número par maior que 2. Então [tex3]n = 2k\rightarrow 4k^2+5[/tex3]
Se mdc(k,3)=1, então pelo pequeno teorema de fermat:
[tex3]4k^2+5\equiv 9 \equiv 0 \mod(3)[/tex3]
será um múltiplo de 3 maior que 3 e portanto não será primo. Sendo assim: [tex3]k = 3q\rightarrow 36q^2+5[/tex3] .
Para q=1 dá primo: 41
Para q=2 dá primo: 149
para q=3 não dá primo porque é múltiplo de 7: [tex3]36\cdot 9+5\equiv 1\cdot 2-2 \equiv 0 \mod(7)[/tex3]
Para q=4 não dá primo porque é múltiplo de 7: [tex3]36\cdot 16+5\equiv 1\cdot 2-2 \equiv 0 \mod(7)[/tex3]
Para q=5 não dá primo porque é múltiplo de 5 obviamente
Para q=6 dá primo: [tex3]36\cdot 36+5=\boxed{1301}[/tex3]
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Problema 64
(República Tcheca - 2012) Encontre todos os inteiros n tais que [tex3]n^4-3n^2+9 [/tex3] é um número primo.
Resposta
-2,-1,1,2
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Jan 2021
02
10:18
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 64
[tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3]
[tex3]n^4 + 9 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2)^2 + 9 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3)^2 - 6n^2 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3)^2 - (3n)^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3 n + 3)(n^2 - 3n + 3)[/tex3] , sendo [tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3] primo, [tex3](n^2 + 3 n + 3) = 1[/tex3] ou [tex3](n^2 - 3n + 3)=1[/tex3] .
Para [tex3](n^2 + 3 n + 3) = 1[/tex3] :
[tex3]n^2 + 3 n + 3 = 1[/tex3]
[tex3]n^2 + 3n + 3 - 1 = 0[/tex3]
[tex3]n^2 + 3n - 2 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = (3)^2 - 4 \times 1 \times (-2)[/tex3]
[tex3]\Delta = 9 + 8[/tex3]
[tex3]\Delta =17\therefore n=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}[/tex3] , contudo [tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3] não será inteiro.
Para [tex3](n^2 - 3 n + 3) = 1[/tex3] :
[tex3]n^2 - 3 n + 3 = 1[/tex3]
[tex3]n^2 - 3n + 3 - 1 = 0[/tex3]
[tex3]n^2 - 3n + 2 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta =(-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 [/tex3]
[tex3]\Delta = 9 - 8 [/tex3]
[tex3]\Delta = 1 \therefore n = 1,n=2[/tex3]
Então:
[tex3]n=(-1,-2,1,2)[/tex3]
Problema 65
(Uruguai - 2014) Mostre que o número [tex3]n^2-2^{2014} \times 2014n + 4^{2013}(2014^2-1)[/tex3] , com [tex3]n[/tex3] natural, não pode ser primo.
[tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3]
[tex3]n^4 + 9 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2)^2 + 9 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3)^2 - 6n^2 - 3n^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3)^2 - (3n)^2[/tex3]
[tex3](n^2 + 3 n + 3)(n^2 - 3n + 3)[/tex3] , sendo [tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3] primo, [tex3](n^2 + 3 n + 3) = 1[/tex3] ou [tex3](n^2 - 3n + 3)=1[/tex3] .
Para [tex3](n^2 + 3 n + 3) = 1[/tex3] :
[tex3]n^2 + 3 n + 3 = 1[/tex3]
[tex3]n^2 + 3n + 3 - 1 = 0[/tex3]
[tex3]n^2 + 3n - 2 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = (3)^2 - 4 \times 1 \times (-2)[/tex3]
[tex3]\Delta = 9 + 8[/tex3]
[tex3]\Delta =17\therefore n=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}[/tex3] , contudo [tex3]n^4 - 3n^2 + 9[/tex3] não será inteiro.
Para [tex3](n^2 - 3 n + 3) = 1[/tex3] :
[tex3]n^2 - 3 n + 3 = 1[/tex3]
[tex3]n^2 - 3n + 3 - 1 = 0[/tex3]
[tex3]n^2 - 3n + 2 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta =(-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 [/tex3]
[tex3]\Delta = 9 - 8 [/tex3]
[tex3]\Delta = 1 \therefore n = 1,n=2[/tex3]
Então:
[tex3]n=(-1,-2,1,2)[/tex3]
Problema 65
(Uruguai - 2014) Mostre que o número [tex3]n^2-2^{2014} \times 2014n + 4^{2013}(2014^2-1)[/tex3] , com [tex3]n[/tex3] natural, não pode ser primo.
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Jan 2021
03
14:39
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 65
[tex3]n^2-2^{2014} \times 2014n + 4^{2013}(2014^2-1) = [/tex3]
[tex3](n-2^{2013}\cdot 2014 )^2 - 2^{4026} = [/tex3]
[tex3](n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013}) \cdot (n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}) [/tex3]
Se os 2 fatores são positivos, então o menor deve ser igual a 1:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013} = 1 [/tex3]
[tex3]n = 2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}+ 1 [/tex3]
Substituindo no outro fator:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = 2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}+ 1-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = 2^{2014}+1 [/tex3]
Mas pela fatoração de sophie germain:
[tex3]2^{2014}+1 = 4\cdot (2^{503})^4+1^4 = (1+2^{1007}+2^{504})(1+2^{1007}-2^{504})[/tex3]
Então não é primo.
Se os 2 fatores são negativos, então o maior deve ser igual a -1:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = -1 [/tex3]
[tex3]n=2^{2013}\cdot 2014-2^{2013}-1 [/tex3]
Substituindo no outro fator:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013} = -2^{2014}-1 = -(1+2^{1007}+2^{504})(1+2^{1007}-2^{504}) [/tex3]
Também não é primo.
E claro, se um dos fatores for 0, o resultado será 0 e portanto não será primo.
________________________________________________________________________________________________
Problema 66
(Bielorrússia - 2008) Se [tex3]x^2+y=y^2+z=z^2+x [/tex3] , prove que [tex3]x^3+y^3+z^3 = xy^2+yz^2+zx^2 [/tex3]
[tex3]n^2-2^{2014} \times 2014n + 4^{2013}(2014^2-1) = [/tex3]
[tex3](n-2^{2013}\cdot 2014 )^2 - 2^{4026} = [/tex3]
[tex3](n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013}) \cdot (n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}) [/tex3]
Se os 2 fatores são positivos, então o menor deve ser igual a 1:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013} = 1 [/tex3]
[tex3]n = 2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}+ 1 [/tex3]
Substituindo no outro fator:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = 2^{2013}\cdot 2014+2^{2013}+ 1-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = 2^{2014}+1 [/tex3]
Mas pela fatoração de sophie germain:
[tex3]2^{2014}+1 = 4\cdot (2^{503})^4+1^4 = (1+2^{1007}+2^{504})(1+2^{1007}-2^{504})[/tex3]
Então não é primo.
Se os 2 fatores são negativos, então o maior deve ser igual a -1:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014+2^{2013} = -1 [/tex3]
[tex3]n=2^{2013}\cdot 2014-2^{2013}-1 [/tex3]
Substituindo no outro fator:
[tex3]n-2^{2013}\cdot 2014-2^{2013} = -2^{2014}-1 = -(1+2^{1007}+2^{504})(1+2^{1007}-2^{504}) [/tex3]
Também não é primo.
E claro, se um dos fatores for 0, o resultado será 0 e portanto não será primo.
________________________________________________________________________________________________
Problema 66
(Bielorrússia - 2008) Se [tex3]x^2+y=y^2+z=z^2+x [/tex3] , prove que [tex3]x^3+y^3+z^3 = xy^2+yz^2+zx^2 [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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03
16:32
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 66
[tex3]x^2+y=y^2+z\implies x^3+xy=y^2x+xz[/tex3]
[tex3]y^2+z=z^2+x\implies y^3+yz=z^2y+xy[/tex3]
[tex3]z^2+x=x^2+y\implies z^3+xz=x^2z+yz[/tex3]
soma tudo membro a membro depois de ter multiplicado
[tex3]z^3+x^3+y^3+\cancel{xy+yz+xz}=y^2x+z^2y+x^2z+\cancel{xz+xy+yz}[/tex3]
[tex3]x^3+y^3+z^3 = xy^2+yz^2+zx^2 [/tex3]
Problema 67
(Russia - 2011) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
[tex3]x^2+y=y^2+z\implies x^3+xy=y^2x+xz[/tex3]
[tex3]y^2+z=z^2+x\implies y^3+yz=z^2y+xy[/tex3]
[tex3]z^2+x=x^2+y\implies z^3+xz=x^2z+yz[/tex3]
soma tudo membro a membro depois de ter multiplicado
[tex3]z^3+x^3+y^3+\cancel{xy+yz+xz}=y^2x+z^2y+x^2z+\cancel{xz+xy+yz}[/tex3]
[tex3]x^3+y^3+z^3 = xy^2+yz^2+zx^2 [/tex3]
Problema 67
(Russia - 2011) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
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Jan 2021
03
20:09
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Solução do problema 67
Obviamente [tex3]p>q [/tex3] , portanto [tex3]mdc(p,q) = 1 [/tex3] e então:
[tex3]p-q|p+q [/tex3]
[tex3]p-q|p+q+p-q [/tex3]
[tex3]p-q|2p [/tex3]
Mas pelo lema de Euclides:
[tex3]mdc(p-q,p) = mdc(p-q,p-p+q) = mdc(p-q,q) = mdc(p,q) = 1 [/tex3]
Sendo assim:
[tex3]p-q|2 [/tex3]
Primeiro caso: [tex3]p-q = 1\rightarrow p = q+1[/tex3]
[tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
[tex3]q+1 + q = (q+1-q)^3[/tex3]
Sem solução.
Segundo caso: [tex3]p-q = 2\rightarrow p = q+2[/tex3]
[tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
[tex3]q+2 + q = (q+2-q)^3[/tex3]
[tex3]\boxed{q = 3}\rightarrow \boxed{p = 5}[/tex3]
Essa é a única solução.
______________________________________________________________________________________________________
Problema 68
(Kosovo - 2017) Encontre todos os n naturais tais que [tex3]n^3-1 [/tex3] é um número primo.
Obviamente [tex3]p>q [/tex3] , portanto [tex3]mdc(p,q) = 1 [/tex3] e então:
[tex3]p-q|p+q [/tex3]
[tex3]p-q|p+q+p-q [/tex3]
[tex3]p-q|2p [/tex3]
Mas pelo lema de Euclides:
[tex3]mdc(p-q,p) = mdc(p-q,p-p+q) = mdc(p-q,q) = mdc(p,q) = 1 [/tex3]
Sendo assim:
[tex3]p-q|2 [/tex3]
Primeiro caso: [tex3]p-q = 1\rightarrow p = q+1[/tex3]
[tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
[tex3]q+1 + q = (q+1-q)^3[/tex3]
Sem solução.
Segundo caso: [tex3]p-q = 2\rightarrow p = q+2[/tex3]
[tex3]p + q = (p-q)^3[/tex3]
[tex3]q+2 + q = (q+2-q)^3[/tex3]
[tex3]\boxed{q = 3}\rightarrow \boxed{p = 5}[/tex3]
Essa é a única solução.
______________________________________________________________________________________________________
Problema 68
(Kosovo - 2017) Encontre todos os n naturais tais que [tex3]n^3-1 [/tex3] é um número primo.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Jan 2021
04
11:50
Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Pela fatoração [tex3]x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)[/tex3]
Problema 69
(Undergrad Math Contest-1997) Sejam [tex3]x_1=x_2=1[/tex3] , e [tex3]x_{n+1}=1996x_n+1997x_{n-1}[/tex3] para [tex3]n≥2.[/tex3] Determine o resto da divisão de [tex3]x_{1997}[/tex3] por 3.
2
, temos que [tex3]p=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)[/tex3]
como p é primo, um dos fatores na fatoração deve ser igual a 1. É fácil provar que o único fator que pode ser 1 é [tex3]n-1[/tex3]
, e como n é um número natural, temos: [tex3]n-1=1\implies n=2[/tex3]
e [tex3]p=7.[/tex3]
Problema 69
(Undergrad Math Contest-1997) Sejam [tex3]x_1=x_2=1[/tex3] , e [tex3]x_{n+1}=1996x_n+1997x_{n-1}[/tex3] para [tex3]n≥2.[/tex3] Determine o resto da divisão de [tex3]x_{1997}[/tex3] por 3.
Resposta
2
Editado pela última vez por NigrumCibum em 04 Jan 2021, 11:52, em um total de 1 vez.
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