)
Pela divisão euclidiana [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3]
Sabendo que o resto dessa divisão é [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ 1}[/tex3] , então o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)}}[/tex3] é maior do que [tex3]\mathsf{2}[/tex3] . Sendo o grau de um polinômio um número natural, então o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3.}[/tex3]
Logo, alternativa [tex3]\mathsf{b)}[/tex3] já foi refutada;
Sendo que [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3] e o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3}[/tex3] , então o grau de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3] é no mínimo [tex3]\mathsf{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ \geq \ \underbrace{\overbrace{(x^3 \ + \alpha \cdot x^2 \ + \beta \ \cdot \ x \ + \ \gamma)}^{grau \ mínimo \ de \ q_{(x)}} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1)}_{o \ grau \ mínimo \ de \ q_{(x)} \ gera \ um \ polinômio \ de \ grau \ 5} \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3]
Em outras palavras, se o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3}[/tex3] , então o grau de [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ \geq \ 5.}[/tex3]
Portanto, alternativa [tex3]\mathsf{a)}[/tex3] é falsa;
Veja que não temos como afirmar o que é [tex3]\mathsf{q_{(x)}}[/tex3] , e por isso não sabemos quais serão os conjuntos de suas raízes, e então não podemos afirmar nem refutar [tex3]\mathsf{d).}[/tex3]
Já explicado o raciocínio, podemos enfim ir à alternativa certa [tex3]\rightarrow[/tex3]
Sabendo que [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3] , então podemos reescrever :
[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ (x^2 \ + \ 1) \ \cdot \ (q_{(x)} \ + \ 1)}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{(x^2 \ + \ 1)}[/tex3] é um fator de [tex3]\mathsf{p_{(x)}.}[/tex3]
Como [tex3]\mathsf{(x^2 \ + \ 1)}[/tex3] é um fator de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3] , as raízes desse polinômio podem ser achadas por :
[tex3]\mathsf{0 \ = \ (x^2 \ + \ 1) \ \cdot \ (q_{(x)} \ + \ 1) \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(q_{(x)} \ + \ 1) \ = \ 0 \ ou \ (x^2 \ + \ 1) \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x^2 \ = \ -1 \ \ \therefore \ x \ = \ \pm \ i}[/tex3] é raiz de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3].
Problema 11
(FUVEST - 2011) A esfera [tex3]\epsilon[/tex3] , de centro [tex3]\mathsf{O}[/tex3] e raio [tex3]\mathsf{r \ > \ 0}[/tex3] , é tangente ao plano [tex3]\alpha[/tex3] . O plano [tex3]\beta[/tex3] é paralelo a [tex3]\alpha[/tex3] e contém [tex3]\mathsf{O}[/tex3] . Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de [tex3]\epsilon[/tex3] com [tex3]\beta[/tex3] e, como vértice,um ponto em [tex3]\alpha[/tex3] , é
[tex3]\mathsf{a) \ \dfrac{\sqrt3 \ \cdot \ r^3}{4};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b) \ \dfrac{5 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{16};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{c) \ \dfrac{3 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{8};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d) \ \dfrac{7 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{16};}[/tex3]
[tex3]\mathsf{e) \ \dfrac{\sqrt3 \ \cdot \ r^3}{2}}[/tex3]
Resposta
[tex3]\mathsf{Alternativa \ e)}[/tex3]
