Soluçao do Problema 140
Do enunciado,
[tex3]5M,2F,1Q,4O:\,C_{7,5}.C_{3,2}.C_{4,1}.C_{4,4}=252[/tex3]
[tex3]5M,2F,2Q,3O:\,C_{7,5}.C_{3,2}.C_{4,2}.C_{4,3}=1512[/tex3]
[tex3]5M,3F,0Q,4O:\,C_{7,5}.C_{3,3}.C_{4,0}.C_{4,4}=21[/tex3]
[tex3]5M,3F,1Q,3O:\,C_{7,5}.C_{3,3}.C_{4,1}.C_{4,4}=336[/tex3]
[tex3]5M,3F,2Q,2O:\,C_{7,5}.C_{3,3}.C_{4,2}.C_{4,2}=756[/tex3]
Somando temos que: 2877 comissões. Letra D
----------------------
Problema 141
(ITA - 1991) Se [tex3]z = \cos t + i\text{sen} t[/tex3]
, onde 0 [tex3]< t < 2p[/tex3]
, então podemos afirmar que [tex3]w=\frac{1+z}{1-z}[/tex3]
é dado por:
a) [tex3]i\cot\frac{t}{2}[/tex3]
b) [tex3]i\tan\frac{t}{2}[/tex3]
c) [tex3]i\cot t[/tex3]
d) [tex3]i\tan t[/tex3]
e) N.R.A
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA
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Nov 2011
30
22:27
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 30 Nov 2011, 22:27, em um total de 2 vezes.
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Dez 2011
04
23:06
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 141
[tex3]w = \frac{1 + \cos t + i\cdot \sen t}{1 - \cos t - i\cdot \sen t}[/tex3]
Lembrando das relações:
[tex3]\cos \theta = 2\cos ^2\, \frac{\theta}{2} - 1[/tex3] ; [tex3]{-}\cos \theta = 1 - 2\sen ^2\,\frac{\theta}{2}[/tex3] e [tex3]\sen \theta = 2\cdot \sen \frac{\theta}{2}\cdot \cos \,\frac{\theta}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]w = \frac{1 + \left(2\cos ^2 \,\frac{t}{2} - 1\right) + i\cdot \left(2\cdot \sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{1 - \left(1 - 2\sen ^2\,\frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]w = \frac{\left(2\cos ^2\,\frac{t}{2}\right)\cdot \left({-}i^2\right) + i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{\left(2\sen ^2 \frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3] , colocando os fatores comuns em evidência:
[tex3]w = \frac{2i\cdot \cos \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \frac{t}{2}}\right)}{2\sen \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \,\frac{t}{2}}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{w = i\cdot \left(\cotg \frac{t}{2}\right)}\text{Resposta}[/tex3] A
-------------------------------------------------------------------------------
Problema 142
(ITA - 1976) Dado um paralelepípedo retângulo, de volume V, cujas arestas estão progressão geométrica, de razão q, podemos garantir que sua área total é dada por:
a) [tex3]\frac{2V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
b) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q - 1\right)[/tex3]
c) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q + 1} \left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
d) [tex3]\frac{V^2}{q^3}\left(q + 1\right)[/tex3]
e) [tex3]\text{n.d.a}[/tex3]
[tex3]w = \frac{1 + \cos t + i\cdot \sen t}{1 - \cos t - i\cdot \sen t}[/tex3]
Lembrando das relações:
[tex3]\cos \theta = 2\cos ^2\, \frac{\theta}{2} - 1[/tex3] ; [tex3]{-}\cos \theta = 1 - 2\sen ^2\,\frac{\theta}{2}[/tex3] e [tex3]\sen \theta = 2\cdot \sen \frac{\theta}{2}\cdot \cos \,\frac{\theta}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]w = \frac{1 + \left(2\cos ^2 \,\frac{t}{2} - 1\right) + i\cdot \left(2\cdot \sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{1 - \left(1 - 2\sen ^2\,\frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]w = \frac{\left(2\cos ^2\,\frac{t}{2}\right)\cdot \left({-}i^2\right) + i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}{\left(2\sen ^2 \frac{t}{2}\right) - i\left(2\sen \frac{t}{2}\cdot \cos \,\frac{t}{2}\right)}[/tex3] , colocando os fatores comuns em evidência:
[tex3]w = \frac{2i\cdot \cos \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \frac{t}{2}}\right)}{2\sen \frac{t}{2}\left(\cancel{\sen \frac{t}{2} - i\cdot \cos \,\frac{t}{2}}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{w = i\cdot \left(\cotg \frac{t}{2}\right)}\text{Resposta}[/tex3] A
-------------------------------------------------------------------------------
Problema 142
(ITA - 1976) Dado um paralelepípedo retângulo, de volume V, cujas arestas estão progressão geométrica, de razão q, podemos garantir que sua área total é dada por:
a) [tex3]\frac{2V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
b) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q}\left(q^2 + q - 1\right)[/tex3]
c) [tex3]\frac{V^{\frac{2}{3}}}{q + 1} \left(q^2 + q + 1\right)[/tex3]
d) [tex3]\frac{V^2}{q^3}\left(q + 1\right)[/tex3]
e) [tex3]\text{n.d.a}[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 04 Dez 2011, 23:06, em um total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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FilipeCaceres
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Dez 2011
07
22:37
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 142
Seja [tex3]\frac{x}{q},x,xq[/tex3] as dimensões.
O Volume será dado por:
[tex3]V=\frac{x}{q}\cdot x\cdot x\cdot q=x^3[/tex3]
A Área será:
[tex3]A=2\left(\frac{x}{q}\cdot x+\frac{x}{q}\cdot x\cdot q+x\cdot x\cdot q\right)[/tex3]
[tex3]A=2\left(\frac{x^2}{q}+x^2+x^2q\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{2\sqrt[3]{V^2}}{q}(q^2+q+1)[/tex3] . Letra A
--------------------------------------------
Problema 143
(ITA -91) Se [tex3]a \in \mathbf{R}[/tex3] com a > 0 e [tex3]\arcsen\frac{a-1}{a+1}[/tex3] está no primeiro quadrante, então o valor de [tex3]tg\left(\arcsen\frac{a-1}{a+1}+\arctg\frac{1}{a\sqrt{2}}\right)[/tex3] é:
a) [tex3]\frac{a+1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2a\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2a}{3a+1}[/tex3]
e) n.d.a
Seja [tex3]\frac{x}{q},x,xq[/tex3] as dimensões.
O Volume será dado por:
[tex3]V=\frac{x}{q}\cdot x\cdot x\cdot q=x^3[/tex3]
A Área será:
[tex3]A=2\left(\frac{x}{q}\cdot x+\frac{x}{q}\cdot x\cdot q+x\cdot x\cdot q\right)[/tex3]
[tex3]A=2\left(\frac{x^2}{q}+x^2+x^2q\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{2\sqrt[3]{V^2}}{q}(q^2+q+1)[/tex3] . Letra A
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Problema 143
(ITA -91) Se [tex3]a \in \mathbf{R}[/tex3] com a > 0 e [tex3]\arcsen\frac{a-1}{a+1}[/tex3] está no primeiro quadrante, então o valor de [tex3]tg\left(\arcsen\frac{a-1}{a+1}+\arctg\frac{1}{a\sqrt{2}}\right)[/tex3] é:
a) [tex3]\frac{a+1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2a\sqrt{a}}{3a+1}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2a}{3a+1}[/tex3]
e) n.d.a
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 07 Dez 2011, 22:37, em um total de 3 vezes.
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Dez 2011
08
11:53
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 143
Para facilitar, vamos tomar como: [tex3]\varphi = \arccos\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)[/tex3] e [tex3]\theta = \arctan\left(\frac{1}{2 \sqrt{a}}\right)[/tex3]
O valor desejado será: [tex3]\tan(\varphi + \theta)[/tex3]
[tex3]\text{sen } \varphi = \frac{a - 1}{a + 1}[/tex3]
[tex3]\cos \varphi = \sqrt{1 - \left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)^2} \rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{(a + 1)^2 - (a - 1)^2}{(a + 1)^2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + 1 - 1 + 2a + 2a}{(a + 1)^2}} = \frac{2\sqrt{a}}{a + 1}[/tex3] (OBS.: a é >0 )
[tex3]\tan \varphi = \frac{(a - 1)}{\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{(a + 1)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
[tex3]\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{a}}[/tex3]
Voltando na primeira equação:
[tex3]\tan\left(\varphi + \theta\right) = \frac{\frac{a-1}{2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 \sqrt{a}} }{1 - \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a}}}= \frac{\frac{a}{2 \sqrt{a}}}{\frac{4a - a + 1}{4a}}= \frac{4a^2}{2 \sqrt{a}(3a + 1)}= \frac{2\cdot\cancel{2a}\cdot a\cdot\sqrt{a}}{\cancel{2a}(3a + 1)} = \boxed{\frac{2a \sqrt{a}}{3a + 1}}[/tex3] [tex3]\text{Resposta}[/tex3] C
Para facilitar, vamos tomar como: [tex3]\varphi = \arccos\left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)[/tex3] e [tex3]\theta = \arctan\left(\frac{1}{2 \sqrt{a}}\right)[/tex3]
O valor desejado será: [tex3]\tan(\varphi + \theta)[/tex3]
[tex3]\text{sen } \varphi = \frac{a - 1}{a + 1}[/tex3]
[tex3]\cos \varphi = \sqrt{1 - \left(\frac{a - 1}{a + 1}\right)^2} \rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{(a + 1)^2 - (a - 1)^2}{(a + 1)^2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow \cos \varphi = \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + 1 - 1 + 2a + 2a}{(a + 1)^2}} = \frac{2\sqrt{a}}{a + 1}[/tex3] (OBS.: a é >0 )
[tex3]\tan \varphi = \frac{(a - 1)}{\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{(a + 1)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}[/tex3]
[tex3]\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{a}}[/tex3]
Voltando na primeira equação:
[tex3]\tan\left(\varphi + \theta\right) = \frac{\frac{a-1}{2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 \sqrt{a}} }{1 - \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a}}}= \frac{\frac{a}{2 \sqrt{a}}}{\frac{4a - a + 1}{4a}}= \frac{4a^2}{2 \sqrt{a}(3a + 1)}= \frac{2\cdot\cancel{2a}\cdot a\cdot\sqrt{a}}{\cancel{2a}(3a + 1)} = \boxed{\frac{2a \sqrt{a}}{3a + 1}}[/tex3] [tex3]\text{Resposta}[/tex3] C
Editado pela última vez por theblackmamba em 08 Dez 2011, 11:53, em um total de 3 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Dez 2011
11
18:15
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Quero agradecer a todos que se dedicaram, postando soluções, questões....
Espero que tenha sido útil para os estudos.
Um forte abraço.
FIM !
Espero que tenha sido útil para os estudos.
Um forte abraço.
FIM !
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