I) Se a < b, então ac < bc
II) Se a<b, então a^2 < b^2
III) Se a < b, então a^3 < b ^3
IV) Se ac < bc, então a < b
V) Se a > b, então 1/a > 1/b
Poderiam me ajudar a resolver sem substituir a, b e c por números?
Resposta
S/GABARITO
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Grande abraço a todos,
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Ensino Fundamental ⇒ Números Reais Tópico resolvido
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Fibonacci13
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Dez 2021
12
21:32
Números Reais
Qual das seguintes afirmativas é sempre verdadeira para quaisquer números reais a, b e c?
I) Se a < b, então ac < bc
II) Se a<b, então a^2 < b^2
III) Se a < b, então a^3 < b ^3
IV) Se ac < bc, então a < b
V) Se a > b, então 1/a > 1/b
Poderiam me ajudar a resolver sem substituir a, b e c por números?
S/GABARITO
I) Se a < b, então ac < bc
II) Se a<b, então a^2 < b^2
III) Se a < b, então a^3 < b ^3
IV) Se ac < bc, então a < b
V) Se a > b, então 1/a > 1/b
Poderiam me ajudar a resolver sem substituir a, b e c por números?
S/GABARITO
Não desista dos seus sonhos, continue dormindo.
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Berredo
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Dez 2021
13
23:55
Re: Números Reais
Se [tex3]a< b[/tex3]
ou seja [tex3]a-b<0[/tex3]
temos
[tex3]a^3-b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] (1)
De [tex3]a^2> 0[/tex3] ; [tex3]b^2>0[/tex3] e como [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]ab>0[/tex3] talvez aqui devo provar que isso é válido
Concluímos que [tex3](1)[/tex3] é sempre verdadeiro.
As outras depende de valores de a,b e c.
[tex3]a^3-b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] (1)
De [tex3]a^2> 0[/tex3] ; [tex3]b^2>0[/tex3] e como [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]ab>0[/tex3] talvez aqui devo provar que isso é válido
Concluímos que [tex3](1)[/tex3] é sempre verdadeiro.
As outras depende de valores de a,b e c.
" A matemática, senhora que ensina o homem a ser simples e modesto. É a base de todas as ciências e de todas as artes".Malba Tahan 
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Berredo
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Dez 2021
14
20:58
Re: Números Reais
I) [tex3]ac< bc[/tex3]
[tex3]ac-bc<0[/tex3]
[tex3]c(a-b)<0[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b<0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](1)[/tex3] há uma dependência de [tex3]c[/tex3] ser positivo ou negativo.
Portanto, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.
II) [tex3]a^2< b^2[/tex3]
[tex3]a^2-b^2<0[/tex3]
[tex3](a+b)(a-b)<0[/tex3] [tex3](2)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](2)[/tex3] há uma dependência de [tex3](a+b)[/tex3] ser positivo ou negativo.
Logo, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.
III) [tex3]a^3< b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] [tex3](3)[/tex3]
Vamos manipular algebricamente [tex3]a^2+ab+b^2[/tex3] para o seguinte formato:
[tex3]a^2+ab+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+b^2[/tex3] daí
[tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}[/tex3]
De [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2>0[/tex3] e [tex3]b^2>0[/tex3]
Como [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}>0[/tex3] então [tex3]a^2+ab+b^2>0[/tex3]
para [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Portanto, a operação é válida em [tex3](3)[/tex3] , para qualquer valor, ou seja, sempre verdadeira.
IV É o oposto de I. Não podemos afirmar pois o [tex3]c[/tex3] pode ser positivo ou negativo.
V) [tex3]\frac{1}{a}>\frac{1}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0[/tex3]
[tex3]b-a>0[/tex3]
[tex3]-(a-b)>0[/tex3] [tex3](4)[/tex3]
De [tex3]a>b[/tex3] temos [tex3]a-b>0[/tex3]
Portanto, em [tex3](4)[/tex3] Não é verdadeira.
[tex3]ac-bc<0[/tex3]
[tex3]c(a-b)<0[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b<0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](1)[/tex3] há uma dependência de [tex3]c[/tex3] ser positivo ou negativo.
Portanto, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.
II) [tex3]a^2< b^2[/tex3]
[tex3]a^2-b^2<0[/tex3]
[tex3](a+b)(a-b)<0[/tex3] [tex3](2)[/tex3]
De [tex3]a< b[/tex3] , temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Daí, para que a operação seja válida em [tex3](2)[/tex3] há uma dependência de [tex3](a+b)[/tex3] ser positivo ou negativo.
Logo, não podemos afirmar que é sempre verdadeira.
III) [tex3]a^3< b^3[/tex3]
[tex3]a^3-b^3<0[/tex3]
[tex3](a-b)(a^2+ab+b^2)<0[/tex3] [tex3](3)[/tex3]
Vamos manipular algebricamente [tex3]a^2+ab+b^2[/tex3] para o seguinte formato:
[tex3]a^2+ab+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+b^2[/tex3] daí
[tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}[/tex3]
De [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2>0[/tex3] e [tex3]b^2>0[/tex3]
Como [tex3]\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}>0[/tex3] então [tex3]a^2+ab+b^2>0[/tex3]
para [tex3]a< b[/tex3] temos [tex3]a-b< 0[/tex3]
Portanto, a operação é válida em [tex3](3)[/tex3] , para qualquer valor, ou seja, sempre verdadeira.
IV É o oposto de I. Não podemos afirmar pois o [tex3]c[/tex3] pode ser positivo ou negativo.
V) [tex3]\frac{1}{a}>\frac{1}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0[/tex3]
[tex3]b-a>0[/tex3]
[tex3]-(a-b)>0[/tex3] [tex3](4)[/tex3]
De [tex3]a>b[/tex3] temos [tex3]a-b>0[/tex3]
Portanto, em [tex3](4)[/tex3] Não é verdadeira.
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Dez 2021
14
22:37
Re: Números Reais
Opa, Muito obrigado. Berredo.
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