Demonstrações ⇒ Relação entre Alcance e a Altura do Projétil

[FilipeCaceres]

Seja [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

o alcance [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

o ângulo de disparo e [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

a altura máxima atingida por um projétil. Temos a seguinte relação.

[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]

Demonstração:

Da cinemática tiramos
[tex3]A=v_x\cdot t[/tex3]

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[tex3]A=v_x\cdot t[/tex3]

[tex3]v_y=g\cdot t_s[/tex3]

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[tex3]v_y=g\cdot t_s[/tex3]

Multiplicando as equações e sabendo que [tex3]t=2t_s[/tex3]

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[tex3]t=2t_s[/tex3]

[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot t_s^2[/tex3]

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[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot t_s^2[/tex3]

Também temos,
[tex3]t_s^2=\frac{2h}{g}[/tex3]

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[tex3]t_s^2=\frac{2h}{g}[/tex3]

Logo,
[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot \frac{2h}{g}[/tex3]

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[tex3]A\cdot v_y=2v_x\cdot g\cdot \frac{2h}{g}[/tex3]

[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\frac{4h}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\frac{4h}{A}[/tex3]

E
[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\tan\alpha[/tex3]

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[tex3]\frac{v_y}{v_x}=\tan\alpha[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\tan\alpha =\frac{4h}{A}}[/tex3]

. Como queríamos demonstrar.

Abraço.

[FilipeCaceres]

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[tex3]\circ[/tex3]

Ângulo complementar

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[tex3]\circ[/tex3]

Lançamentos

[emanuel9393]

Uma outra forma de demonstrar essa relação:
------------------------------------------------------------------------
Demonstração 2:
Vamos primeiramente determinar a altura [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

do projétil:
[tex3]v_{y}^{2} \, = \, v_{0y}^{2} \, + \, 2 \cdot \alpha \cdot y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 \, = \, 2 \cdot v_{0y}^{2} \, - \, 2 \cdot g \cdot h \\ \\ h \, = \, \frac{v_{0y}^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{\left(v_{0} \cdot \sin \, \alpha\right)^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} \, \alpha}{2 \cdot g } \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin \, \alpha \, = \, \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha} \,\,\,\,\,\,\, (I)[/tex3]

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[tex3]v_{y}^{2} \, = \, v_{0y}^{2} \, + \, 2 \cdot \alpha \cdot y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 \, = \, 2 \cdot v_{0y}^{2} \, - \, 2 \cdot g \cdot h \\ \\ h \, = \, \frac{v_{0y}^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{\left(v_{0} \cdot \sin \, \alpha\right)^{2}}{2 \cdot g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} \, \alpha}{2 \cdot g } \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin \, \alpha \, = \, \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha} \,\,\,\,\,\,\, (I)[/tex3]

Ainda no movimento vertical, temos que o corpo retorna ao nível de lançamento com velocidade [tex3]- \, v_{0y}[/tex3]

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[tex3]- \, v_{0y}[/tex3]

. Com isso:

[tex3]- \, v_{0y} \, = \, v_{0y} \, - \, g \cdot t \,\,\, \Rightarrow \,\,\, t \, = \, \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\,\,\, \left(\times \,\, v_{x}\right) \\ \\ \underbrace{v_{x} \cdot t}_{A} \, = \, v_{x} \cdot \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, v_{0} \cdot \cos \, \alpha \left( \frac{2 \cdot v_{0} \cdot \sin \, \alpha}{g}\right) \\ \\ A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\,\,\,\, (II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- \, v_{0y} \, = \, v_{0y} \, - \, g \cdot t \,\,\, \Rightarrow \,\,\, t \, = \, \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\,\,\, \left(\times \,\, v_{x}\right) \\ \\ \underbrace{v_{x} \cdot t}_{A} \, = \, v_{x} \cdot \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, v_{0} \cdot \cos \, \alpha \left( \frac{2 \cdot v_{0} \cdot \sin \, \alpha}{g}\right) \\ \\ A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\,\,\,\, (II)[/tex3]

Substituindo [tex3](I)[/tex3]

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[tex3](I)[/tex3]

em [tex3](II)[/tex3]

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[tex3](II)[/tex3]

, encontramos:
[tex3]A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \cos \, \alpha }{g} \cdot \left( \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha}\right) \\ \\ \\ A \, = \, \frac{4 \cdot h}{\tan \, \alpha} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{\tan \, \alpha \,= \, \frac{4 \cdot h}{A}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \sin \, \alpha \cdot \cos \, \alpha}{g} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, = \, \frac{v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot \cos \, \alpha }{g} \cdot \left( \frac{2 \cdot g \cdot h}{v_{0}^{2} \cdot \sin \, \alpha}\right) \\ \\ \\ A \, = \, \frac{4 \cdot h}{\tan \, \alpha} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{\tan \, \alpha \,= \, \frac{4 \cdot h}{A}}}[/tex3]

Como podemos observar, é a mesma relação apresentada pelo Filipe Caceres.

Um abraço!

[emanuel9393]

Vou deixar um desafio para você, Filipe Caceres:
Determine o ângulo

Código: Selecionar tudo

[tex3]\alpha[/tex3]

para o qual o alcance atingido pelo projétil é o máximo possível.

Um abraço!

[FilipeCaceres]

Veja a Resposta.

Abraço.

[emanuel9393]

Valeu, Filipe!

É isso mesmo. Um abraço e até a próxima!