Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Harison** » 23 Nov 2021, 10:18 · Mensagem não lida por **Harison** » 23 Nov 2021, 10:18

Quantos números naturais de cinco algarismos existem contendo três dígitos 7 e dois dígitos 9?

Resposta

10

Obs:Se puder explicar passo a passo,agradeço

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 23 Nov 2021, 11:21 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 23 Nov 2021, 11:21

O segredo pra esse tipo de questão é primeiro calcular um grupo grande, na qual os objetos de nosso interesse estão contidos, e depois eliminar os objetos que não são de nosso interesse.

Primeiro, consideremos cada dígito 7 como sendo diferente e cada dígito 9 também como sendo diferente. Por exemplo, o número
[tex3]N={\color{red}7}{\color{blue}9}.{\color{green}9}{\color{purple}7}{\color{}7}[/tex3] seria "diferente" do número [tex3]N'={\color{purple}7}{\color{blue}9}.{\color{green}9}{\color{red}7}{\color{}7}[/tex3] , pois os dígitos 7 diferentes estariam em posições diferentes (perceba que o roxo e o vermelho foram trocados).

Assim, temos 5 dígitos distintos pra formar o número. Para a casa das unidades podemos usar qualquer um dos 5, portanto temos 5 opções. Para a casa das dezenas, podemos usar todos, exceto o que foi escolhido pra casa das unidades, então temos 4 opções. Pelo mesmo motivo, teremos 3 para as centenas, 2 para os milhares e apenas 1 para as dezenas de milhares. Pelo princípio fundamental da contagem, o total de opções do conjunto é dado pelo produto das opções de cada parte do conjunto. Assim, a quantia de números será [tex3]5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120[/tex3] números.

Porém, agora consideramos dígitos 7's como sendo iguais e o mesmo para os 9's. Por exemplo, o número
[tex3]N={\color{red}7}{\color{blue}9}.{\color{green}9}{\color{purple}7}{\color{}7}[/tex3] agora será igual ao número [tex3]N'={\color{purple}7}{\color{blue}9}.{\color{green}9}{\color{red}7}{\color{}7}[/tex3] . Assim, precisamos eliminar os números que foram contados mais de uma vez. Uma forma de saber quantas vezes o número foi contado é ver quantas maneiras eu posso trocar os dígitos deles e ainda obter o mesmo número. Como há 3 dígitos 7, então há 6 maneiras diferentes de organizar eles em ordem:
[tex3]{\color{purple}7}{\color{red}7}{\color{}7}\\
{\color{purple}7}{\color{}7}{\color{red}7}\\
{\color{red}7}{\color{purple}7}{\color{}7}\\
{\color{red}7}{\color{}7}{\color{purple}7}\\
{\color{}7}{\color{purple}7}{\color{red}7}\\
{\color{}7}{\color{red}7}{\color{purple}7}
[/tex3]
Para verificar isso, basta usarmos a mesma lógica que usamos para q quantia. Há 3 opções de 7 para o primeiro lugar, 2 para o segundo e 1 para o terceiro. Portanto, há [tex3]3\cdot \cdot 2\cdot 1=6[/tex3] maneiras.

Analogamente, temos 2 dígitos 9, e portanto há [tex3]2\cdot 1=2[/tex3] maneiras de organizar esses dígitos.

Portanto, o mesmo número pode ter seus dígitos organizados de [tex3]6\cdot2=12[/tex3] maneiras diferentes sem mudar seu valor. Portanto, para obter a quantia de números desejada, basta dividir a quantia de números obtida pela quantidade de vezes que o número foi contado, ou seja, [tex3]{120\over12}=[/tex3] 10 números diferentes.

Como dever de casa, deixo pra você tentar escrever todos os 10 números com 3 7's e 2 9's.

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