[tex3]\frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}[/tex3]
Resposta
Tentei usar Titu, Radon, Médias... mas nada deu certo.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ (FB) Desigualdades elementares Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Deleted User 23699
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Jun 2021
08
11:57
(FB) Desigualdades elementares
Sejam a, b, c as medidas dos lados de um triângulo de semiperímetro p e inraio r. Prove que:
[tex3]\frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}[/tex3]
Tentei usar Titu, Radon, Médias... mas nada deu certo.
[tex3]\frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}[/tex3]
Tentei usar Titu, Radon, Médias... mas nada deu certo.
-
FelipeMartin
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Jun 2021
08
12:44
Re: (FB) Desigualdades elementares
multiplique os dois lados por [tex3]S^2[/tex3]
, sendo [tex3]S[/tex3]
a área do triângulo e a desigualdade será:
[tex3]\frac{(p-b)(p-c)}{p-a} + \frac{(p-a)(p-c)}{p-b} + \frac{(p-b)(p-a)}{p-c} \geq p[/tex3]
[tex3][(p-b)(p-c)]^2 + [(p-a)(p-c)]^2 +[(p-b)(p-a)]^2 \geq p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
me parece ser ou a desigualdade das médias ou das potências:
fazendo [tex3]x = [(p-b)(p-c)]^2[/tex3] , [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] análogos:
[tex3]\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \iff \frac{x+y+z}3 \geq (p-a)(p-b)(p-c) \sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
como: [tex3]\frac{(p-a) + (p-b) + (p-c)}3 \geq \sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3] R.I.P.
talvez uma aplicação mais esperta dessas desigualdades das médias.
[tex3]\frac{(p-b)(p-c)}{p-a} + \frac{(p-a)(p-c)}{p-b} + \frac{(p-b)(p-a)}{p-c} \geq p[/tex3]
[tex3][(p-b)(p-c)]^2 + [(p-a)(p-c)]^2 +[(p-b)(p-a)]^2 \geq p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
me parece ser ou a desigualdade das médias ou das potências:
fazendo [tex3]x = [(p-b)(p-c)]^2[/tex3] , [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] análogos:
[tex3]\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \iff \frac{x+y+z}3 \geq (p-a)(p-b)(p-c) \sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
como: [tex3]\frac{(p-a) + (p-b) + (p-c)}3 \geq \sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3] R.I.P.
talvez uma aplicação mais esperta dessas desigualdades das médias.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
Ittalo25
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Jun 2021
08
14:07
Re: (FB) Desigualdades elementares
Dá para usar os ex centros.... Sendo S a área do triângulo: [tex3]S = r_a \cdot (p-a) [/tex3]
.... E então:
[tex3]\frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}[/tex3]
[tex3]\frac{S^2}{(p-a)^2}+\frac{S^2}{(p-b)^2}+\frac{S^2}{(p-c)^2}\geq \frac{S^2}{r^2}[/tex3]
[tex3]r^2_a+r^2_b+r^2_c \geq p^2 [/tex3]
[tex3](4R+r)^2-2p^2 \geq p^2 [/tex3]
Demonstração:
[tex3]r_1+r_2+r_3-r = [/tex3]
[tex3]\frac{S}{(p-a)}+\frac{S}{(p-b)}+\frac{S}{(p-c)}-\frac{S}{p} = [/tex3]
Desenvolvendo e usando [tex3]S = \frac{abc}{4R}[/tex3] , chega-se em:
[tex3]r_1+r_2+r_3-r = 4R\rightarrow r_1+r_2+r_3 = 4R+r [/tex3]
[tex3]r_1\cdot r_2+r_2\cdot r_3+r_3\cdot r_1 = [/tex3]
[tex3]\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}+\frac{S^2}{(p-a)(p-c)}+\frac{S^2}{(p-b)(p-c)}[/tex3]
Desenolvendo:
[tex3]r_1\cdot r_2+r_2\cdot r_3+r_3\cdot r_1 = p^2 [/tex3]
[tex3](4R+r)^2 \geq 3p^2 [/tex3]
Demonstração:
Famoso corolário da desigualdade de Weitzenböck's:
Usando:
[tex3]\begin{cases}
a=2R\cdot sen(A) = 4R\cdot sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{A}{2}\right) \\
p-a = r\cdot cot\left(\frac{A}{2}\right)
\end{cases}[/tex3]
Temos que:
[tex3]\begin{cases}
sen^2\left(\frac{A}{2}\right) = sen\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(\frac{A}{2}\right)tan\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{a}{4R}\cdot \frac{r}{p-a} \\
cos^2\left(\frac{A}{2}\right)=sen\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(\frac{A}{2}\right)cot\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{a}{4R}\cdot \frac{p-a}{r}
\end{cases}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\frac{ar}{4R \cdot (p-a)}+\frac{a(p-a)}{4Rr}=1[/tex3]
[tex3]a^3-2pa^2+(p^2+r^2+4Rr)\cdot a-4pRr=0 [/tex3]
Obviamente a,b e c são raízes desse polinômio.
Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
a+b+c=2p \\
ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr \\
abc=4pRr
\end{cases}[/tex3]
Sendo assim:
[tex3](a+b-c)^2 \cdot (a-b)^2 + (b+c-a)^2(b-c)^2+(c+a-b)^2(c-a)^2 \geq 0 [/tex3]
[tex3]8r^2 \cdot ((r+4R)^2-3p^2)\geq 0[/tex3]
Ou seja: [tex3](r+4R)^2\geq 3p^2[/tex3]
Com a igualdade ocorrendo com o triângulo equilátero: [tex3]a=b=c [/tex3]
[tex3]\frac{1}{(p-a)^2}+\frac{1}{(p-b)^2}+\frac{1}{(p-c)^2}\geq \frac{1}{r^2}[/tex3]
[tex3]\frac{S^2}{(p-a)^2}+\frac{S^2}{(p-b)^2}+\frac{S^2}{(p-c)^2}\geq \frac{S^2}{r^2}[/tex3]
[tex3]r^2_a+r^2_b+r^2_c \geq p^2 [/tex3]
[tex3](4R+r)^2-2p^2 \geq p^2 [/tex3]
Demonstração:
Resposta
[tex3]r_1+r_2+r_3-r = [/tex3]
[tex3]\frac{S}{(p-a)}+\frac{S}{(p-b)}+\frac{S}{(p-c)}-\frac{S}{p} = [/tex3]
Desenvolvendo e usando [tex3]S = \frac{abc}{4R}[/tex3] , chega-se em:
[tex3]r_1+r_2+r_3-r = 4R\rightarrow r_1+r_2+r_3 = 4R+r [/tex3]
[tex3]r_1\cdot r_2+r_2\cdot r_3+r_3\cdot r_1 = [/tex3]
[tex3]\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}+\frac{S^2}{(p-a)(p-c)}+\frac{S^2}{(p-b)(p-c)}[/tex3]
Desenolvendo:
[tex3]r_1\cdot r_2+r_2\cdot r_3+r_3\cdot r_1 = p^2 [/tex3]
Demonstração:
Resposta
Famoso corolário da desigualdade de Weitzenböck's:
Usando:
[tex3]\begin{cases}
a=2R\cdot sen(A) = 4R\cdot sen\left(\frac{A}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{A}{2}\right) \\
p-a = r\cdot cot\left(\frac{A}{2}\right)
\end{cases}[/tex3]
Temos que:
[tex3]\begin{cases}
sen^2\left(\frac{A}{2}\right) = sen\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(\frac{A}{2}\right)tan\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{a}{4R}\cdot \frac{r}{p-a} \\
cos^2\left(\frac{A}{2}\right)=sen\left(\frac{A}{2}\right)cos\left(\frac{A}{2}\right)cot\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{a}{4R}\cdot \frac{p-a}{r}
\end{cases}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\frac{ar}{4R \cdot (p-a)}+\frac{a(p-a)}{4Rr}=1[/tex3]
[tex3]a^3-2pa^2+(p^2+r^2+4Rr)\cdot a-4pRr=0 [/tex3]
Obviamente a,b e c são raízes desse polinômio.
Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
a+b+c=2p \\
ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr \\
abc=4pRr
\end{cases}[/tex3]
Sendo assim:
[tex3](a+b-c)^2 \cdot (a-b)^2 + (b+c-a)^2(b-c)^2+(c+a-b)^2(c-a)^2 \geq 0 [/tex3]
[tex3]8r^2 \cdot ((r+4R)^2-3p^2)\geq 0[/tex3]
Ou seja: [tex3](r+4R)^2\geq 3p^2[/tex3]
Com a igualdade ocorrendo com o triângulo equilátero: [tex3]a=b=c [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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FelipeMartin
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Jun 2021
08
14:10
Re: (FB) Desigualdades elementares
de elementar essas desigualdades ai não têm nada kkkkk
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
Deleted User 23699
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Jun 2021
08
17:14
Re: (FB) Desigualdades elementares
FelipeMartin
Meu professor, que faz essa apostila do Farias Brito, é 2x medalhista na IMO e ouro na IMC rs
Para mim, elementar é soma e subtração
Meu professor, que faz essa apostila do Farias Brito, é 2x medalhista na IMO e ouro na IMC rs
Para mim, elementar é soma e subtração
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