Ensino Médio ⇒ Aritmética (Elementos da Matemática- Rufino)

[MilkShake]

Quando um número de dois dígitos é somado a outro número de dois dígitos possuindo os mesmos dígitos em ordem inversa , a soma é um quadrado perfeito. Determine todos estes números de 2 dígitos.

Resposta

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29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

[παθμ]

[tex3]n=10a+b, \; \; m=10b+a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=10a+b, \; \; m=10b+a.[/tex3]

[tex3]n+m=q^2 \Longrightarrow 11(a+b)=q^2[/tex3]

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[tex3]n+m=q^2 \Longrightarrow 11(a+b)=q^2[/tex3]

Como 11 é primo, devemos então ter [tex3]a+b=11 \cdot k,[/tex3]

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[tex3]a+b=11 \cdot k,[/tex3]

onde [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é um outro quadrado perfeito. Mas, fora [tex3]a+b=11,[/tex3]

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[tex3]a+b=11,[/tex3]

a menor possibilidade é [tex3]a+b=44,[/tex3]

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[tex3]a+b=44,[/tex3]

que já ultrapassa o valor máximo de a+b, que é [tex3]9+9=18.[/tex3]

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[tex3]9+9=18.[/tex3]

Então a única possibilidade é [tex3]a+b=11.[/tex3]

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[tex3]a+b=11.[/tex3]

As soluções são então:

a=2, b=9 e vice-versa

a=3, b=8 e vice-versa

a=4, b=7 e vice-versa

a=5, b=6 e vice-versa

Daí as soluções: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.