Ensino MédioEquação Tópico resolvido

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Andre13000
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Equação

Mensagem não lida por Andre13000 »

Resolva em N:

[tex3]3x+k=y^2[/tex3]

Onde [tex3]k\geq 0[/tex3]



“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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undefinied3
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Re: Equação

Mensagem não lida por undefinied3 »

Para [tex3]y=3n[/tex3] :
[tex3]3x+k=9n^2 \rightarrow x=3n^2-\frac{k}{3}[/tex3]
Segue que devemos ter [tex3]k=3m[/tex3] , e assim temos [tex3]x=3n^2-m[/tex3]
E ficamos com [tex3](3n^2-m, \ 3m, \ 3n)[/tex3]
Obviamente [tex3]m,n \geq 0[/tex3] (considerando 0 natural) e [tex3]3n^2\geq m[/tex3]

Para [tex3]y=3n+1[/tex3] :
[tex3]3x+k=9n^2+6n+1 \rightarrow x=3n^2+2n+\frac{1-k}{3}[/tex3]
E devemos ter [tex3]k=3m+1[/tex3] , resultando em:
[tex3](3n^2+2n-m, \ 3m+1, \ 3n+1)[/tex3] , [tex3]3n^2+2n \geq m[/tex3] e [tex3]m,n \geq 0[/tex3]

Finalmente, para [tex3]y=3n+2[/tex3] :
[tex3]3x+k=9n^2+12n+4 \rightarrow x=3n^2+4n+\frac{4-k}{3}[/tex3]
Portanto [tex3]k=3m+1[/tex3] , dando a terna:
[tex3](3n^2+4n-m+1, \ 3m+1, \ 3n+2)[/tex3] , [tex3]3n^2+4n+1 \geq m[/tex3] e [tex3]m,n \geq 0[/tex3]

Não tem como parametrizar em função de só uma variável até onde eu saiba.

Última edição: undefinied3 (Qui 20 Jul, 2017 22:06). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Equação

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

não há solução pra k = 2 mod 3



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Andre13000
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Re: Equação

Mensagem não lida por Andre13000 »

Eu tinha feito da seguinte forma:

Pode-se reduzir [tex3]3x+k[/tex3] a três casos: [tex3]3x[/tex3] , [tex3]3x+1[/tex3] e [tex3]3x+2[/tex3]

1.

[tex3]3x=y^2\\
x=3a^2\\
9a^2=y^2\\
y=3a[/tex3]

2.

[tex3]3x+1=y^2\\
y=1+\frac{\alpha x}{\beta}\\
3x=\pm\frac{2\alpha x}{\beta}+\frac{\alpha^2x^2}{\beta^2}\\
x=\frac{3\beta^2\mp 2\alpha\beta}{\alpha^2}=3\frac{\beta^2}{\alpha^2}\mp 2\frac{\beta}{\alpha}\\
\frac{\beta}{\alpha}=\mu\\
x=3\mu^2\mp 2\mu\\
y=1\pm\frac{x}{\mu}\\
y=1\pm\left(3\mu\mp2\right)\\
y=\pm 3\mu-1[/tex3]

3.

O problema agora é que eu não sei exatamente como provar que [tex3]3x+2[/tex3] nunca é quadrado.

[tex3]3x+2\equiv 3x-1=y^2\\
y=i+zt\\
3x=2zt+z^2t^2\\
z=a+bi\\
3x=2at+2bti+a^2t^2+2abt^2i-b^2t^2\\
i(2bt+2abt^2)=0\to at=-1\\
y=i+zt=i+at+bti\\
3x+1=a^2t^2\\
3x=1-1=0\\[/tex3]

Ao colocar a solução identificada:

[tex3]-1=y^2\\
y=i[/tex3]

Se alguém souber como provar que não há como esse treco aí ser um quadrado, poste por favor. Obrigado.


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undefinied3
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Re: Equação

Mensagem não lida por undefinied3 »

Aplica módulo 3 na equação. Ficamos com [tex3]k \equiv y^2[/tex3] . Analisando quadrados módulo 3, eles só deixam resto 0 ou 1, então k não pode deixar resto 2. Logo, não tem a possibilidade 3x+k = 3u+2, como dito pelo sousóeu.


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Andre13000
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Re: Equação

Mensagem não lida por Andre13000 »

Valeu. Eu não sou muito bom com módulos.



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