Ensino Médio

O ponto $P=(x,y)$ pertence à reta passando por $A=(-3,5)$ e $B=(-1,2)$ , e $P$ satisfaz [tex3]|\overline{PA}|=4|\overline{AB}|[/tex3] . Utilize a fórmula da distância para achar as coordenadas de $P$ .

Olá!

Resolução
Inicialmente, determinemos a equação da reta $r:AB$

$r:\left|\begin{array}{ccc}x&y&1 \\ x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x&y&1 \\ -3&5&1\\-1&2&1 \end{array}\right| =0\Leftrightarrow r: 3x+2y-11=0$

E se $P \in r$ então $P$ é da forma $P\left(x,-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2}\right)$ . Utilizemos agora a outra informação dada no problema:

$|\overline{PA}|=4|\overline{AB}| \Leftrightarrow (x+3)^2+\left(5+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{11}{2}\right)^2 = 16[(-3+1)^2+(5-2)^2] \\ \Leftrightarrow (x^2+6x+9)+\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\right)^2=16(4+9) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 13x^2+18x-795 = 0$

Cujas soluções são:

$x_1 = \dfrac{-9}{13}-\dfrac{4\sqrt{651}}{13} \ \ , \ \ x_2=\dfrac{-9}{13}+\dfrac{4\sqrt{651}}{13}$

Logo:

$\boxed{\boxed{P\left( \dfrac{-9}{13}-\dfrac{4\sqrt{651}}{13} , \dfrac{85}{13}+\dfrac{6\sqrt{651}}{13}\right)}} \ \ \text{ou} \ \ \boxed{\boxed{P\left( \dfrac{-9}{13}+\dfrac{4\sqrt{651}}{13} , \dfrac{85}{13}-\dfrac{6\sqrt{651}}{13}\right)}}$

Grande abraço!

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