Ensino Médio

pgavp2012 · Mensagem não lida por **pgavp2012** » 08 Mai 2015, 20:50

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=0
cos(a)y+2sen(a)z=0
cos(a)y+ [cos(a)-sen(a)]z=0
\end{cases}[/tex3]
Considere o sistema linear acima, qual o valor de a, [tex3]\frac{\pi }{2}< a < 2\pi[/tex3] , tal que ele possua solução diferente da solução trivial?

Prova de Matemática interna do colégio naval, Dá aquela ajuda pfvr , Valeu!

Mensagem não lidapor **candre** » 09 Mai 2015, 01:48 · Mensagem não lida por **candre** » 09 Mai 2015, 01:48

sendo o sistema homogêneo
$\begin{cases}x+y+z=0\\\cos(\alpha)y+2\sin(\alpha)z=0\\\cos(\alpha)y+ [\cos(\alpha)-\sin(\alpha)]z=0\end{cases}$
com $\frac{\pi}{2}<\alpha<2\pi$
temos que o sistema só admite outra solução alem da trivial se a determinante da matriz dos coeficientes for nula, obtendo (podemos usar o teorema de laplace na primeira coluna)
$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\cos\alpha&2\sin\alpha\\0&\cos\alpha&\cos\alpha-\sin\alpha\end{vmatrix}=0\\ \begin{vmatrix}\cos\alpha&2\sin\alpha\\\cos\alpha&\cos\alpha-\sin\alpha\end{vmatrix}=0\\ \cos^2\alpha-\cos\alpha\sin\alpha-2\cos\alpha\sin\alpha =0\\ \cos^2\alpha-3\cos\alpha\sin\alpha=0\\ \cos\alpha(\cos\alpha-3\sin\alpha)=0\\ \cos\alpha=0\vee\cos\alpha-3\sin\alpha=0\\ \cos\alpha=0\vee3\sin\alpha=\cos\alpha\\ \cos\alpha=0\vee\tan\alpha=\frac{1}{3}\\ \cos\alpha=0\iff\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in\mathbb{Z}\\ \tan\alpha=0\iff\alpha=\arctan\frac{1}{3}+\pi k,k\in\mathbb{Z}$
temos que:
$0<\arctan\frac{1}{3}<\arctan 1=\frac{\pi}{4}\\ 0<\arctan\frac{1}{3}<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}\\ \pi<\arctan\frac{1}{3}+\pi<\frac{5\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}<2\pi$
dentro de $\frac{\pi}{2}<\alpha<2\pi$ temos como solução o conjunto $\left\{\arctan\frac{1}{3}+\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$

pgavp2012 · Mensagem não lida por **pgavp2012** » 09 Mai 2015, 09:30

Valeu o/!

Ensino Médio ⇒ Sistemas Lineares Tópico resolvido

Sistemas Lineares

Re: Sistemas Lineares

Re: Sistemas Lineares

Ensino Médio ⇒ Sistemas Lineares Tópico resolvido

Sistemas Lineares

Re: Sistemas Lineares

Re: Sistemas Lineares

Entrar | Registrar