Ensino Médio

Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5, 6} que contêm pelo menos um múltiplo de 3?
(A) 32
(B) 36
(C) 48
(D) 60
(E) 64

$2^{6}-1$

Esse é o total de conjuntos, agora subtrai os conjuntos de 1 elemento que não têm múltiplo de 3:

$2^{6}-1-C_{4}^{1}$

Agora exclui os conjuntos de 2 elementos que não têm múltiplo de 3:

$2^{6}-1-C_{4}^{1}-C_{4}^{2}$

Os de 3 elementos:

$2^{6}-1-C_{4}^{1}-C_{4}^{2}- C_{4}^{3}$

Os de 4:

$2^{6}-1-C_{4}^{1}-C_{4}^{2}- C_{4}^{3}- C_{4}^{4}$

Os de cinco e seis elementos não precisa, pois necessariamente terão múltiplos de 3:

$2^{6}-1-C_{4}^{1}-C_{4}^{2}- C_{4}^{3}- C_{4}^{4}= 48$

Sinceramente eu não entendi nada da resolução, se possivel puder explicar com detalhes agradeço.
Obrigada!

Por exemplo:

Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3} que contêm um múltiplo de 3?

$2^{3}-1$

Esse é o total de subconjuntos, já excluído o vazio.

Agora basta retirar os subconjuntos de 1 elemento que não tem múltiplo de 3: $(\{1\},\{2\})$

$2^{3}-1-\frac{2!}{1!(2-1)!}$

E retirar os subconjuntos de 2 elementos que não têm múltiplo de 3: $(\{1,2\})$

$2^{3}-1-\frac{2!}{1!(2-1)!}- \frac{2!}{2!(2-2)!}$

Os subconjuntos de 3 elementos necessariamente terão múltiplo de 3: $(\{1,2,3\})$ então não precisa retirar:

$2^{3}-1-\frac{2!}{1!(2-1)!}- \frac{2!}{2!(2-2)!}=$

$2^{3}-1-2- 1=$

$4$

Que por sinal são estes 4 subconjuntos:

$\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$

Obrigada!

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