Ensino MédioSistemas Lineares

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Ecodaro
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Sistemas Lineares

Mensagem não lida por Ecodaro »

Ei galera, tudo bem? Meu professor ensinou que para resolver um sistema onde o número de equações é maior que o número de incógnitas devemos escolher um número de equações igual o número de incógnitas e substituir na equação que sobrou para achar o resultado. Então fiz questão abaixo e sem utilizar a equação "x + z = 1" e encontrei "x = -1", "y = 3", e "z = 2". Porém se utilizar a equação "x + z = 1", o resultando encontrado é "x = 1 - z", "y = 1 + z", para qualquer "z" [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] . Queria saber qual dos resultados é o correto, ou se os dois são corretos. Alguém poderia me ajudar? Obrigado :D:D:D

Dê o conjunto solução do sistema [tex3]\begin{cases}
x - y + 2z = 0 \\
x + z = 1 \\
3x + 2y + z = 5 \\
2x - y + z = -3
\end{cases}[/tex3]

Última edição: Ecodaro (Sex 19 Set, 2014 14:07). Total de 1 vez.



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candre
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Re: Sistemas Lineares

Mensagem não lida por candre »

podemos resolver pelo métodos de escalonamento
lol

temos que o sistema [tex3]\begin{cases}x - y + 2z = 0 \\ x + z = 1 \\ 3x + 2y + z = 5 \\ 2x - y + z = -3\end{cases}[/tex3] pode ser escrito na forma
\begin{bmatrix}1&-1&2\\1&0&1\\3&2&1\\2&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\5\\-3\end{bmatrix}
do qual a matriz aumentada é
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\1&0&1&1\\3&2&1&5\\2&-1&1&-3\end{bmatrix}
temos
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\1&0&1&1\\3&2&1&5\\2&-1&1&-3\end{bmatrix}\\
L_2\leftarrow L_2-L_1\\
L_3\leftarrow L_3-3L_1\\
L_4\leftarrow L_4-2L_1\\
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\1&0&1&1\\3&2&1&5\\2&-1&1&-3\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\1-1&0+1&1-2&1-0\\3-3&2+3&1-6&5-0\\2-2&-1+2&1-4&-3+0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&5&-5&5\\0&1&-3&-3\end{bmatrix}\\ \\ 
L_3\leftrightarrow L_4\\ \\ 
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&5&-5&5\\0&1&-3&-3\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&1&-3&-3\\0&5&-5&5\end{bmatrix}\\ \\ 
L_3\leftarrow L_3-L_2\\
L_4\leftarrow L_4-5L_2\\
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&1&-3&-3\\0&5&-5&5\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&1-1&-3+1&-3-1\\0&5-5&-5+5&5-5\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&0&-2&-4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&-1&2&0\\0&1&0&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}
obtendo como solução
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\\2\end{bmatrix}
você pode checar a solução substituindo no sistema, testando como solução x=1-z,y=1+z
x-y+2z=(1-z)-(1+z)+2z=1-z-1-z+2z=2z-2z=0\\
x+z=(1-z)+z=1-z+z=1\\
3x+2y+z=3(1-z)+2(1+z)+z=3-3z+2+2z+z=5+3z-3z=5\\
2x-y+z=2(1-z)-(1+z)+z=2-2z-1-z+z=1-2z=3
observe que a quarta é verdadeira somente para z=2.

Última edição: candre (Sex 19 Set, 2014 15:53). Total de 1 vez.


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Re: Sistemas Lineares

Mensagem não lida por Ecodaro »

Entendi candre, obrigado. Mas em um caso como esse como eu devo fazer? Testar, e se não der certo eu tento trocar as equações utilizadas?



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candre
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Re: Sistemas Lineares

Mensagem não lida por candre »

Ecodaro escreveu:Entendi candre, obrigado. Mas em um caso como esse como eu devo fazer? Testar, e se não der certo eu tento trocar as equações utilizadas?
teste, se não der certo pode ser que o sistema não tenha solução.

Última edição: candre (Sáb 20 Set, 2014 13:56). Total de 1 vez.


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