Considere um cone circular reto, cujo raio da base mede
R, e cuja geratriz mede g. Considere uma formiga, inicialmente sobre um ponto P situado na circunferência da base do cone, que se desloca dando uma volta inteira sobre a superfície lateral do cone até atingir o ponto P novamente, conforme mostra a figura a seguir.
Se o menor caminho possível a ser percorrido pela formiga mede g, então o volume do cone é igual a:
Gabarito: [tex3]\frac{\pi R^{3}\sqrt{35}}{3}[/tex3]
Selecon 2023
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ 14 volume de cone Tópico resolvido
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Abr 2024
22
11:27
Re: 14 volume de cone
Analisesousp, planifique a superfície do cone fazendo o corte por uma geratriz que passa pelo ponto P. Assim, há duas instâncias do ponto P na planificação, chame-as de P e P':
Para a formiga ir de P a P' percorrendo o menor caminho possível, ela deve percorrer uma linha reta. Como esse segmento mede [tex3]g,[/tex3] veja que obtemos um triângulo equilátero, daí que o ângulo acima mede [tex3]60 \degree.[/tex3]
[tex3]\frac{60}{360} \cdot 2\pi g=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]
Pitágoras para achar a altura do cone: [tex3]h^2+R^2=g^2 \Longrightarrow h=\sqrt{35}R.[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi R^2 h}{3}=\boxed{\frac{\pi R^3 \sqrt{35}}{3}}[/tex3]
Para a formiga ir de P a P' percorrendo o menor caminho possível, ela deve percorrer uma linha reta. Como esse segmento mede [tex3]g,[/tex3] veja que obtemos um triângulo equilátero, daí que o ângulo acima mede [tex3]60 \degree.[/tex3]
[tex3]\frac{60}{360} \cdot 2\pi g=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]
Pitágoras para achar a altura do cone: [tex3]h^2+R^2=g^2 \Longrightarrow h=\sqrt{35}R.[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi R^2 h}{3}=\boxed{\frac{\pi R^3 \sqrt{35}}{3}}[/tex3]
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Abr 2024
22
19:08
Re: 14 volume de cone
παθμ , por gentileza, qual a correlação usada na regra de 3? Não peguei. Obrigada
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Abr 2024
22
19:17
Re: 14 volume de cone
Analisesousp,
O arco de [tex3]60 \degree[/tex3] de raio [tex3]g[/tex3] tem comprimento [tex3]2\pi R.[/tex3] Um arco de 60 graus é uma fração [tex3]\frac{60}{360}=\frac{1}{6}[/tex3] de uma circunferência completa, e o comprimento de uma circunferência completa seria [tex3]2\pi g.[/tex3] Então [tex3]\frac{2 \pi g}{6}=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]
O arco de [tex3]60 \degree[/tex3] de raio [tex3]g[/tex3] tem comprimento [tex3]2\pi R.[/tex3] Um arco de 60 graus é uma fração [tex3]\frac{60}{360}=\frac{1}{6}[/tex3] de uma circunferência completa, e o comprimento de uma circunferência completa seria [tex3]2\pi g.[/tex3] Então [tex3]\frac{2 \pi g}{6}=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]
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