Estou tendo dificuldades na compreensão da fórmula de duplicação dos polígonos, por exemplo, no livro volume II do morgado, tem um exemplo que utiliza esta fórmula para calcular o lado do octógono regular: l8 = [tex3]\sqrt{2R(R - R\sqrt{R² - \frac{(ln)^2}{4}}}[/tex3]
A demonstração eu entendi perfeitamente, entendi que devemos aplicar quando quisermos calcular o lado do polígono conhecendo, por exemplo, um quadrilátero, mas não estou conseguindo chegar na fórmula do octógono regular... Desde já agradeço
edit: consegui chegar no resultado, mas eu gostaria de saber por qual valor substituir o ln
Ensino Médio ⇒ Fórmula da duplicação de polígonos Tópico resolvido
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17
11:29
Fórmula da duplicação de polígonos
Editado pela última vez por Papiro8814 em 17 Mar 2024, 11:33, em um total de 1 vez.
Rumo ao CN!
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Mar 2024
17
12:54
Re: Fórmula da duplicação de polígonos
Papiro8814
[tex3]\mathsf{
l_n=L_4 = R\sqrt2\\
l_{2n} =\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-l_n^2}} \\
l_8 =\sqrt{ 2R^2-R\sqrt{4R^2-(R\sqrt2)^2}} \implies \boxed{l_8 =R\sqrt{2-\sqrt2}}\\
}[/tex3]
[tex3]\mathsf{
l_n=L_4 = R\sqrt2\\
l_{2n} =\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-l_n^2}} \\
l_8 =\sqrt{ 2R^2-R\sqrt{4R^2-(R\sqrt2)^2}} \implies \boxed{l_8 =R\sqrt{2-\sqrt2}}\\
}[/tex3]
Editado pela última vez por petras em 17 Mar 2024, 15:26, em um total de 1 vez.
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Mar 2024
17
19:35
Re: Fórmula da duplicação de polígonos
Demonstração da Fórmula:
l = comprimento do lado do polígono de n lados
L = comprimento do lado do polígono de 2n lados
r = raio do círculo circunscrito
a = apótema
[tex3]\mathsf{\triangle CPO: a^2+(\frac{l}{2})^2=r^2 \implies \boxed{a=\frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2}}\\
\triangle BCP: L^2=(r-a)^2+(\frac{l}{2})^2 \implies L^2 = (r - \frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2})^2+\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(4r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2-l^2) +\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(8r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2) =2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}\\
\therefore \boxed{L=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}}}
}[/tex3]
l = comprimento do lado do polígono de n lados
L = comprimento do lado do polígono de 2n lados
r = raio do círculo circunscrito
a = apótema
[tex3]\mathsf{\triangle CPO: a^2+(\frac{l}{2})^2=r^2 \implies \boxed{a=\frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2}}\\
\triangle BCP: L^2=(r-a)^2+(\frac{l}{2})^2 \implies L^2 = (r - \frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2})^2+\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(4r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2-l^2) +\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(8r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2) =2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}\\
\therefore \boxed{L=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}}}
}[/tex3]
- Anexos
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Editado pela última vez por petras em 17 Mar 2024, 19:36, em um total de 2 vezes.
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