Ensino Médio ⇒ (Rufino) Congruência de triângulos Tópico resolvido

[Deleted User 24633]

Demonstrar que dois triângulos isósceles são congruentes quando têm iguais os perímetros e as alturas relativas as bases.

Obs: Não vale teorema de Pitágoras.

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Eu consegui reduzir o problema a provar que se dois triângulos retângulos possuem um par (um em cada) de catetos congruentes e o mesmo perímetro, estes são congruentes. Que pode ser facilmente provado usando o teorema de Pitágoras (que a esta altura no livro, ainda não foi demonstrado, e por isso eu fiquei curioso para descobrir como se resolver o exercício sem usá-lo).

[FelipeMartin]

Suponha que existam então dois triângulos retângulos de mesmo cateto e mesmo perímetro mas diferentes hipotenusas: digamos ABC e ABD com AB sendo o cateto em comum.

Então podemos colocar o cateto comum ABC e ABD sobre um mesmo segmento de reta AB e nesse caso os vértices C e D se encontram (no mesmo semi-plano definido por AB) na mesma reta perpendicular a AB que passa por um dos extremos fixos: ou A ou B.

mas veja que se C e D não coincidirem um deles ficará acima do outro, digamos que C fique acima de D

então o teorema da envoltória diz que [tex3]CA + CB > DA + DB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CA + CB > DA + DB[/tex3]

mas então os perímetros são diferentes, a única forma dos perímetros serem iguais é se os vértices C e D coincidirem o que implica que [tex3]AC = AD \implies CB= DB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC = AD \implies CB= DB[/tex3]

(pelo perímetro mesmo, não por pitágoras)

[Deleted User 24633]

Obrigado FelipeMartin, bem criativa a sua solução. Suponho que o referido teorema da envoltória é o que diz que se uma linha poligonal está "dentro" de outra, então esta deve ser menor que aquela, certo?

[FelipeMartin]

exato, pode-se provar ele com a desigualdade triangular

[LucasDN684]

Demonstrar que dois triângulos isósceles são congruentes quando têm iguais os perímetros e as alturas relativas as bases.

Obs: Não vale teorema de Pitágoras.

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Eu consegui reduzir o problema a provar que se dois triângulos retângulos possuem um par (um em cada) de catetos congruentes e o mesmo perímetro, estes são congruentes. Que pode ser facilmente provado usando o teorema de Pitágoras (que a esta altura no livro, ainda não foi demonstrado, e por isso eu fiquei curioso para descobrir como se resolver o exercício sem usá-lo).

Apenas com o apresentado no livro, acho que seria muito difícil fazer uma demonstração rigorosa desse fato. A melhor dica que o Rufino apresentou, mas não provou, foi que o ângulo reto é único no triângulo retângulo, na pág. 15, 2ª observação. A partir dessa dica, poderia deduzir-se que o ângulo reto é o maior num triângulo retângulo (fato esse que, mesmo que visualmente perceptível, não é rigorosamente demonstrado até a próxima seção do capítulo). Então, como o maior ângulo de um triângulo opõem-se ao maior lado deste, concluir-se-ia que dois triângulos retângulos que compartilham de um cateto congruente e possuem o mesmo perímetro são necessariamente congruentes, apesar das ressalvas supracitadas.