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[jomatlove]

Se [tex3]a+b+c=6[/tex3]

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[tex3]a+b+c=6[/tex3]

,então [tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}[/tex3]

vale:

a)3 b)1 c)-1 d)-2 e)2

[Ittalo25]

Fazendo um polinomio qualquer com raízes a,b e c;

[tex3]x^{3}- 6x^{2} +qx - p[/tex3]

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[tex3]x^{3}- 6x^{2} +qx - p[/tex3]

onde [tex3]\begin{cases}
q=ab+bc+ac \\
p=abc
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
q=ab+bc+ac \\
p=abc
\end{cases}[/tex3]

desenvolvendo;

[tex3]a+b+c=6[/tex3]

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[tex3]a+b+c=6[/tex3]

[tex3]a^{2} +b^{2}+c^{2}=36-2q[/tex3]

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[tex3]a^{2} +b^{2}+c^{2}=36-2q[/tex3]

É legal também conhecer a equivalencia de Gauss, aqui no fórum tem demonstrações, dá uma procurada

[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c) \cdot (a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)[/tex3]

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[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c) \cdot (a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)[/tex3]

[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 6 \cdot (36-2q-q)[/tex3]

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[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 6 \cdot (36-2q-q)[/tex3]

[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 6 \cdot (36-q)[/tex3]

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[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 6 \cdot (36-q)[/tex3]

Finalmente;

[tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}} =[/tex3]

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[tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}} =[/tex3]

[tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{2\cdot (a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\cdot (ab+bc+ac)} =[/tex3]

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[tex3]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{2\cdot (a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\cdot (ab+bc+ac)} =[/tex3]

[tex3]\frac{ 6 \cdot (36-q)}{2\cdot (36-2q)-2\cdot (q)} =[/tex3]

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[tex3]\frac{ 6 \cdot (36-q)}{2\cdot (36-2q)-2\cdot (q)} =[/tex3]

[tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

[Hanon]

Ítalo você pode me dizer por que podemos utilizar o coeficiente que acompanha [tex3]x^3[/tex3]

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[tex3]x^3[/tex3]

igual a 1 no polinômio "genérico" [tex3]x^{3}- 6x^{2} +qx - p[/tex3]

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[tex3]x^{3}- 6x^{2} +qx - p[/tex3]

?

Grato por qualquer esclarecimento.