)
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Podemos tomar o ponto [tex3]Y \neq X[/tex3] no interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] tal que [tex3]YA,YB[/tex3] e [tex3]YC[/tex3] fazem os mesmos ângulos com os lados análogos de [tex3]\triangle ABC[/tex3] , da seguinte forma: se [tex3]AX[/tex3] faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] então [tex3]AY[/tex3] faz o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] (vértice [tex3]A[/tex3] em comum a [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] mas trocamos [tex3]B[/tex3] por [tex3]C[/tex3] ). Analogamente para os outros vértices.
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Seja [tex3]r[/tex3] a reta que passa pelo ponto [tex3]A[/tex3] , pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] e que faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] .
Seja [tex3]s[/tex3] a reta que passa pelo ponto [tex3]B[/tex3] , pelo interior de [tex3]\triangle ABC[/tex3] e que faz um ângulo [tex3]\beta[/tex3] com [tex3]AB[/tex3] .
Então [tex3]Y = r \cap s[/tex3] .
Vamos mostrar que [tex3]\angle YCB = \gamma[/tex3] :
Ligue [tex3]Y[/tex3] com [tex3]C[/tex3] então o Teorema de Ceva Trigonométrico em [tex3]Y[/tex3] diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\angle YCB) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \angle YCB) [/tex3]
Porém o teorema de Ceva trigonométrico em [tex3]X[/tex3] diz que:
[tex3]\sen (\alpha) \cdot \sen (\beta) \cdot \sen (\gamma) = \sen (\angle A- \alpha) \cdot \sen (\angle B - \beta) \cdot \sen ( \angle C - \gamma)[/tex3]
dividindo as duas equações:
[tex3]\frac{\sen (\angle YCB )}{\sen (\gamma )} = \frac{\sen (\angle C - \angle YCB)}{\sen (\angle C - \gamma)} \iff \frac{\sen (\angle C - \gamma)}{\sen (\gamma)} = \frac{\sen(\angle C - \angle YCB)}{\sen(\angle YCB)}[/tex3] .
Por fim basta verificarmos que a função: [tex3]\frac{\sen (k-x)}{\sen (x)}[/tex3] é injetora em [tex3]x[/tex3] quando [tex3]x,k \in (0, \pi)[/tex3] .
Como:
[tex3]\frac{\sen (k -x)}{\sen (x)} = \frac{\sen (k) \cos (x) - \sen (x) \cos (k)}{\sen (x)} = \sen (k) \cotg (x) - \cos (k)[/tex3]
então [tex3]\frac{\sen (k-x) }{\sen (x)} = \frac{\sen (k-y)}{\sen (y)} \iff \sen (k) \cotg (x) - \cos (k) = \sen (k) \cotg(y) - \cos (k) \iff[/tex3]
[tex3]\iff \cotg (x) = \cotg (y) \iff x = y +k \pi, k \in \mathbb Z[/tex3] porém no intervalo [tex3](0,\pi)[/tex3] (ângulos em um triângulo) temos [tex3]k=0 \iff x=y[/tex3] .
O que significa que [tex3]\angle YCB = \gamma\,\,\,\,\,\,\, \square[/tex3] .
Chamamos o ponto [tex3]Y[/tex3] de [tex3]\color{red} \text{conjugado isogonal}[/tex3] do ponto [tex3]X[/tex3] no triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Não é difícil ver que as retas [tex3]AX[/tex3] e [tex3]AY[/tex3] são reflexos uma da outra em relação a bissetriz interna do [tex3]\triangle ABC[/tex3] no vértice [tex3]A[/tex3] justamente por isso o único ponto dentro de um triângulo tal que ele é igual ao próprio conjugado isogonal é o incentro do próprio triângulo.
Também é fato conhecido que ortocentro e circuncentro de um mesmo triângulo são conjugados isogonais com relação ao próprio triângulo viewtopic.php?t=43244.
Pode-se provar que a conjugação isogonal, quando encarada como uma transformação do plano, preserva a razão anarmônica constituindo-se portanto de uma involução.
Podemos estender esta definição para além do interior do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] usando a ideia de se refletir as retas [tex3]AX,BX[/tex3] e [tex3]CX[/tex3] em relação às bissetrizes internas do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] . As provas são análogas e nesta expansão é conveniente definir que os vértices [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são seus próprios conjugados isogonais, totalizando 4 pontos no plano com essa propriedade (os três mais o incentro).
