Demonstrações ⇒ Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo

[MatheusBorges]

Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
[tex3]ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr[/tex3]

, sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o semiperímetro.
[tex3]\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\
\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\
\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\
\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\
\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}[/tex3]

Identidade Fundamental:
[tex3]\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}=\frac{R+r}{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}=\frac{R+r}{R}[/tex3]

Demonstração:
viewtopic.php?f=3&t=67107

Portanto:
[tex3]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}{2bc}+\frac{(a+c)^{2}-b^{2}-2ac}{2ac}+\frac{(a+b)^{2}-c^{2}-2ab}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{2ab+2ac+2bc-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{4ab+4ac+4bc-(a+b+c)^{2}}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\

\frac{abc}{4Rr}.4.\frac{(ab+ac+bc-p^{2})}{abc}-3=\frac{R+r}{R}\\
ab+ac+bc-p^{2}-3r=Rr+r^{2}\\
\boxed{ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}{2bc}+\frac{(a+c)^{2}-b^{2}-2ac}{2ac}+\frac{(a+b)^{2}-c^{2}-2ab}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{2ab+2ac+2bc-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{4ab+4ac+4bc-(a+b+c)^{2}}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\

\frac{abc}{4Rr}.4.\frac{(ab+ac+bc-p^{2})}{abc}-3=\frac{R+r}{R}\\
ab+ac+bc-p^{2}-3r=Rr+r^{2}\\
\boxed{ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr}[/tex3]

[FelipeMartin]

aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?