Considere um conjunto de [tex3]n[/tex3]
Os corpos, estando todos em contato térmico, eventualmente atingirão o equilíbrio térmico, e, como todos possuem a mesma capacidade térmica, a temperatura final será [tex3]T=\frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}[/tex3]
(a média aritmética das temperaturas)
A variação de entropia do sistema será [tex3]\Delta S=\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=\sum_{i=1}^{n}C \ln(\frac{T}{T_i})=C\ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})[/tex3]
Como o sistema é fechado, devemos ter:
[tex3]\Delta S\geq 0 \rightarrow \ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})\geq 0\rightarrow \frac{T^n}{\prod_{i=1}^{n}T_i}\geq 1\rightarrow T\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n}\rightarrow \frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n} [/tex3]
.
As temperaturas iniciais [tex3]T_i[/tex3]
são completamente arbitrárias. Poderíamos ter escolhido quaisquer números positivos que quiséssemos para as temperaturas (lembre-se que são temperaturas absolutas)
Isso prova a desigualdade MA-MG: [tex3]\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\geq (\prod_{i=1}^{n}a_i)^{1/n}[/tex3] [tex3]\forall a_i\geq 0[/tex3].
Obs: Apesar da nossa demonstração perder o sentido para o caso em que algum termo é igual a zero ([tex3]T_i=0[/tex3]
), a validade da desigualdade MA-MG nesse caso é trivial de ser verificada (pois a média geométrica será igual a zero). Portanto, não há problema algum.
corpos, com o i-ésimo corpo tendo uma temperatura inicial [tex3]T_i[/tex3]
. Todos os corpos possuem a mesma capacidade térmica [tex3]C[/tex3]
e eles constituem um sistema fechado.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Desigualdade MA-MG via Termodinâmica
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