Olimpíadas

16 Nov 2021, 14:54

Sejam [tex3]a, b, c,[/tex3] números reais tais que as equações [tex3]x^2 + ax + 1 = 0[/tex3] e [tex3]x^2 + bx + c = 0[/tex3] têm exatamente uma raiz real em comum e as equações [tex3]x^2 + x + a = 0[/tex3] e [tex3]x^2 + cx + b = 0[/tex3] também tem exatamente uma raiz real em comum.

Determine a soma [tex3]a + b + c[/tex3] .

Resposta

-3

16 Nov 2021, 19:48

Olá
Defina
a(x) = x²+ax+1
b(x) = x²+bx+c
c(x) = x²+x+a
d(x) = x²+cx+b
a(x) e b(x) têm uma raiz comum
dividindo a(x) por b(x) pelo método das chaves, obtemos quociente 1 e resto (a-b)x+(1-c)
ora, mas o resto é justamente o que seria a raiz de a e não de b.
(c-1)/(a-b) é raiz de a(x)

mesma coisa para c(x) e d(x), e agora encontramos que (a-b)/(c-1) é raiz de c(x)
perceba que a raiz que temos de a(x) é o inverso da raiz que temos de c(x)
fazendo uma transformada recíproca em c(x)
c'(x) = ax²+x+1
c'(x) e a(x) possuem uma raiz idêntica
então vamos substituir o valor nas duas e subtrair uma da outra
c'(x) - a(x)
(a-1)x²+(1-a)x = 0
as possíveis soluções para isso são
a = 1 ; b - 1 não nulo
c = 1 ; a-b não nulo
c = a-b+1 ; a-b não nulo
se você substituir a = 1 em a(x) e c(x), só existem raízes complexas, o que não serve
para c = 1, temos que a(0) = 0, não serve também, pois quando você substitui a(0) é nítido que dá 1
então só sobrou a última possibilidade onde
-a+b+c = 1

agora vamos pegar novamente c'(x) e a(x) e SOMAR
x²+ax+1+ax²+x+1
(1+a)x²+(1+a)x+2 = 0
substituindo a raiz que sabemos ser comum a c'(x) e a(x) e usando que a-b+1 = c
obteremos

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então já temos que a = -2
voltando no que já temos
-a+b+c = 1
ou seja
2+b+c = 1
b+c = - 1
a+b+c = -3

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