Se a e b sao numeros complexos conjugados, tal que [tex3]\frac{a}{b^2}[/tex3]
é um numero real e [tex3]|a-b|=2\sqrt{3}[/tex3]
Então o valor de |a| é igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Eu estou chegando a resultados contraditórios
Olimpíadas ⇒ (China- Adaptada) Numeros complexos
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(China- Adaptada) Numeros complexos
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mateusITA
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Re: (China- Adaptada) Numeros complexos
Seja [tex3]a=x+yi[/tex3]
, [tex3]b=x-yi[/tex3]
:
[tex3]|a-b|=|(x+yi)-(x-yi)|=\sqrt{4y^{2}}=2\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]y^{2}=3[/tex3]
[tex3]\frac{a}{b^2}=\frac{x+yi}{(x-yi)^2}=\frac{x+yi}{(x^2-y^{2})-2xyi}[/tex3]
[tex3]Im\left(\frac{a}{b^{2}}\right)=\frac{2x^{2}yi+(x^2-y^{2})yi}{(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}}=0[/tex3]
[tex3]2x^{2}+(x^2-y^{2})=0[/tex3]
[tex3]3x^{2}=y^{2}[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]x^{2}=1[/tex3]
[tex3]|a|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2[/tex3]
[tex3]|a-b|=|(x+yi)-(x-yi)|=\sqrt{4y^{2}}=2\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]y^{2}=3[/tex3]
[tex3]\frac{a}{b^2}=\frac{x+yi}{(x-yi)^2}=\frac{x+yi}{(x^2-y^{2})-2xyi}[/tex3]
[tex3]Im\left(\frac{a}{b^{2}}\right)=\frac{2x^{2}yi+(x^2-y^{2})yi}{(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}}=0[/tex3]
[tex3]2x^{2}+(x^2-y^{2})=0[/tex3]
[tex3]3x^{2}=y^{2}[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]x^{2}=1[/tex3]
[tex3]|a|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2[/tex3]
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